Precálculo Ejemplos

$\frac{x + 2}{2 x^{2} + 3 x + 1}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ y cuya suma es $b = 3$ .

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Paso 1.1.1.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\frac{x + 2}{2 x^{2} + 3 (x) + 1}$

Paso 1.1.1.2

Reescribe $3$ como $1$ más $2$

$\frac{x + 2}{2 x^{2} + (1 + 2) x + 1}$

Paso 1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x + 2}{2 x^{2} + 1 x + 2 x + 1}$

Paso 1.1.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x + 2}{2 x^{2} + x + 2 x + 1}$

Paso 1.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{x + 2}{(2 x^{2} + x) + 2 x + 1}$

Paso 1.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x + 2}{x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)}$

Paso 1.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x + 1$ .

$\frac{x + 2}{(2 x + 1) (x + 1)}$

Paso 1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{2 x + 1}$

Paso 1.3

$\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x + 1}$

Paso 1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(2 x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $2 x + 1$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x + 2) (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.6

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 2) (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.6.2

Divide $x + 2$ por $1$ .

$x + 2 = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.1

Cancela el factor común de $2 x + 1$ .

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Paso 1.7.1.1

Cancela el factor común.

$x + 2 = \frac{A (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.7.1.2

Divide $(A) (x + 1)$ por $1$ .

$x + 2 = (A) (x + 1) + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 2 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.7.3

Multiplica $A$ por $1$ .

$x + 2 = A x + A + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.7.4

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 1.7.4.1

Cancela el factor común.

$x + 2 = A x + A + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.7.4.2

Divide $(B) (2 x + 1)$ por $1$ .

$x + 2 = A x + A + (B) (2 x + 1)$

Paso 1.7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 2 = A x + A + B (2 x) + B \cdot 1$

Paso 1.7.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x + 2 = A x + A + 2 B x + B \cdot 1$

Paso 1.7.7

Multiplica $B$ por $1$ .

$x + 2 = A x + A + 2 B x + B$

Paso 1.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.8.1

Mueve $B$ .

$x + 2 = A x + A + 2 x B + B$

Paso 1.8.2

Mueve $A$ .

$x + 2 = A x + 2 x B + A + B$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A + 2 B$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$2 = A + B$

Paso 2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$1 = A + 2 B$

$2 = A + B$

$1 = A + 2 B$

$2 = A + B$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Resuelve $A$ en $1 = A + 2 B$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + 2 B = 1$ .

$A + 2 B = 1$

$2 = A + B$

Paso 3.1.2

Resta $2 B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 1 - 2 B$

$2 = A + B$

$A = 1 - 2 B$

$2 = A + B$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $1 - 2 B$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $2 = A + B$ por $1 - 2 B$ .

$2 = (1 - 2 B) + B$

$A = 1 - 2 B$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Suma $- 2 B$ y $B$ .

$2 = 1 - B$

$A = 1 - 2 B$

$2 = 1 - B$

$A = 1 - 2 B$

$2 = 1 - B$

$A = 1 - 2 B$

Paso 3.3

Resuelve $B$ en $2 = 1 - B$ .

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $1 - B = 2$ .

$1 - B = 2$

$A = 1 - 2 B$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- B = 2 - 1$

$A = 1 - 2 B$

Paso 3.3.2.2

Resta $1$ de $2$ .

$- B = 1$

$A = 1 - 2 B$

$- B = 1$

$A = 1 - 2 B$

Paso 3.3.3

Divide cada término en $- B = 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.1

Divide cada término en $- B = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$A = 1 - 2 B$

Paso 3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{B}{1} = \frac{1}{- 1}$

$A = 1 - 2 B$

Paso 3.3.3.2.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = 1 - 2 B$

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = 1 - 2 B$

Paso 3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.3.1

Divide $1$ por $- 1$ .

$B = - 1$

$A = 1 - 2 B$

$B = - 1$

$A = 1 - 2 B$

$B = - 1$

$A = 1 - 2 B$

$B = - 1$

$A = 1 - 2 B$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $- 1$ en cada ecuación.

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Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = 1 - 2 B$ por $- 1$ .

$A = 1 - 2 \cdot - 1$

$B = - 1$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica $1 - 2 \cdot - 1$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$A = 1 + 2$

$B = - 1$

Paso 3.4.2.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$A = 3$

$B = - 1$

$A = 3$

$B = - 1$

$A = 3$

$B = - 1$

$A = 3$

$B = - 1$

Paso 3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = 3, B = - 1$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x + 1}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{3}{2 x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$