Precálculo Ejemplos

$\frac{4}{x (x - 1)}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}$

Paso 1.2

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $x (x - 1)$ .

$\frac{4 (x (x - 1))}{x (x - 1)} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 (x (x - 1))}{x (x - 1)} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4 (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.4.2

Divide $4$ por $1$ .

$4 = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.5

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.5.1.1

Cancela el factor común.

$4 = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.5.1.2

Divide $A (x - 1)$ por $1$ .

$4 = A (x - 1) + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.5.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $A$ .

$4 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.5.4

Reescribe $- 1 A$ como $- A$ .

$4 = A x - A + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.5.5

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 1.5.5.1

Cancela el factor común.

$4 = A x - A + \frac{B (x (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.5.5.2

Divide $(B) (x)$ por $1$ .

$4 = A x - A + (B) (x)$

$4 = A x - A + B x$

Paso 1.6

Mueve $- A$ .

$4 = A x + B x - A$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + B$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$4 = - 1 A$

Paso 2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + B$

$4 = - 1 A$

$0 = A + B$

$4 = - 1 A$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Resuelve $A$ en $4 = - 1 A$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $- 1 A = 4$ .

$- 1 A = 4$

$0 = A + B$

Paso 3.1.2

Divide cada término en $- 1 A = 4$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.1.2.1

Divide cada término en $- 1 A = 4$ por $- 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

$0 = A + B$

Paso 3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{A}{1} = \frac{4}{- 1}$

$0 = A + B$

Paso 3.1.2.2.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{4}{- 1}$

$0 = A + B$

$A = \frac{4}{- 1}$

$0 = A + B$

Paso 3.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.2.3.1

Divide $4$ por $- 1$ .

$A = - 4$

$0 = A + B$

$A = - 4$

$0 = A + B$

$A = - 4$

$0 = A + B$

$A = - 4$

$0 = A + B$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $- 4$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = A + B$ por $- 4$ .

$0 = (- 4) + B$

$A = - 4$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$0 = - 4 + B$

$A = - 4$

$0 = - 4 + B$

$A = - 4$

$0 = - 4 + B$

$A = - 4$

Paso 3.3

Resuelve $B$ en $0 = - 4 + B$ .

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $- 4 + B = 0$ .

$- 4 + B = 0$

$A = - 4$

Paso 3.3.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$B = 4$

$A = - 4$

$B = 4$

$A = - 4$

Paso 3.4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = 4 A = - 4$

Paso 3.5

Enumera todas las soluciones.

$B = 4, A = - 4$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$- \frac{4}{x} + \frac{4}{x - 1}$