Precálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x^{2} + x - 6$

Paso 1

Escribe $f (x) = 2 x^{2} + x - 6$ como una ecuación.

$y = 2 x^{2} + x - 6$

Paso 2

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$2 x^{2} + x - 6 = y$

Paso 3

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} + x = y + 6$

Paso 4

Completa el cuadrado.

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Paso 4.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 2$

$b = 1$

$c = 0 = y + 6$

Paso 4.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e = y + 6$

Paso 4.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

Paso 4.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$d = \frac{1}{4}$

Paso 4.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 4.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 2}$

Paso 4.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.4.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 2}$

Paso 4.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{8}$

Paso 4.4.2.2

Resta $\frac{1}{8}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{8}$

Paso 4.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8} = y + 6$

Paso 5

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1

Suma $\frac{1}{8}$ a ambos lados de la ecuación.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + 6 + \frac{1}{8}$

Paso 5.2

Para escribir $6$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + 6 \cdot \frac{8}{8} + \frac{1}{8}$

Paso 5.3

Combina $6$ y $\frac{8}{8}$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + \frac{6 \cdot 8}{8} + \frac{1}{8}$

Paso 5.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + \frac{6 \cdot 8 + 1}{8}$

Paso 5.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.5.1

Multiplica $6$ por $8$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + \frac{48 + 1}{8}$

Paso 5.5.2

Suma $48$ y $1$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + \frac{49}{8}$

Paso 6

Divide cada término en $2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + \frac{49}{8}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + \frac{49}{8}$ por $2$ .

$\frac{2 {(x + \frac{1}{4})}^{2}}{2} = \frac{y}{2} + \frac{\frac{49}{8}}{2}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 {(x + \frac{1}{4})}^{2}}{2} = \frac{y}{2} + \frac{\frac{49}{8}}{2}$

Paso 6.2.1.2

Divide ${(x + \frac{1}{4})}^{2}$ por $1$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y}{2} + \frac{\frac{49}{8}}{2}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y}{2} + \frac{49}{8} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 6.3.1.2

Multiplica $\frac{49}{8} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 6.3.1.2.1

Multiplica $\frac{49}{8}$ por $\frac{1}{2}$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y}{2} + \frac{49}{8 \cdot 2}$

Paso 6.3.1.2.2

Multiplica $8$ por $2$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y}{2} + \frac{49}{16}$

Paso 7

Factoriza.

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Paso 7.1

Para escribir $\frac{y}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y}{2} \cdot \frac{8}{8} + \frac{49}{16}$

Paso 7.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $16$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.2.1

Multiplica $\frac{y}{2}$ por $\frac{8}{8}$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{49}{16}$

Paso 7.2.2

Multiplica $2$ por $8$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y \cdot 8}{16} + \frac{49}{16}$

Paso 7.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y \cdot 8 + 49}{16}$

Paso 7.4

Mueve $8$ a la izquierda de $y$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{8 y + 49}{16}$

Paso 7.5

Reordena los términos.

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{16} (8 y + 49)$