Precálculo Ejemplos

$\frac{x + 2}{x + 3} < \frac{x - 1}{x - 2}$

Paso 1

Resta $\frac{x - 1}{x - 2}$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{x + 2}{x + 3} - \frac{x - 1}{x - 2} < 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{x + 2}{x + 3} - \frac{x - 1}{x - 2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Para escribir $\frac{x + 2}{x + 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x + 2}{x + 3} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x - 1}{x - 2} < 0$

Paso 2.2

Para escribir $- \frac{x - 1}{x - 2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x + 2}{x + 3} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x - 1}{x - 2} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} < 0$

Paso 2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + 3) (x - 2)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Multiplica $\frac{x + 2}{x + 3}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{x - 1}{x - 2} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} < 0$

Paso 2.3.2

Multiplica $\frac{x - 1}{x - 2}$ por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x - 2) (x + 3)} < 0$

Paso 2.3.3

Reordena los factores de $(x - 2) (x + 3)$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x + 2) (x - 2) - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Expande $(x + 2) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x - 2) + 2 (x - 2) - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Paso 2.5.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Paso 2.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Paso 2.5.2

Combina los términos opuestos en $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1

Reordena los factores en los términos $x \cdot - 2$ y $2 x$ .

$\frac{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Paso 2.5.2.2

Suma $- 2 x$ y $2 x$ .

$\frac{x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Paso 2.5.2.3

Suma $x \cdot x$ y $0$ .

$\frac{x \cdot x + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Paso 2.5.3

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Paso 2.5.3.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 4 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Paso 2.5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 4 + (- x - - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Paso 2.5.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 4 + (- x + 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Paso 2.5.6

Expande $(- x + 1) (x + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 4 - x (x + 3) + 1 (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Paso 2.5.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 4 - x \cdot x - x \cdot 3 + 1 (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Paso 2.5.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 4 - x \cdot x - x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Paso 2.5.7

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.7.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.7.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.7.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 - (x \cdot x) - x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Paso 2.5.7.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Paso 2.5.7.1.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 3 x + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Paso 2.5.7.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 3 x + x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Paso 2.5.7.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 3 x + x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Paso 2.5.7.2

Suma $- 3 x$ y $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 2 x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Paso 2.5.8

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{0 - 4 - 2 x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Paso 2.5.9

Resta $4$ de $0$ .

$\frac{- 4 - 2 x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Paso 2.5.10

Suma $- 4$ y $3$ .

$\frac{- 2 x - 1}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Paso 2.6

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{- (2 x) - 1}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Paso 2.7

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x) - 1 (1)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Paso 2.8

Factoriza $- 1$ de $- (2 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x + 1)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Paso 2.9

Reescribe $- (2 x + 1)$ como $- 1 (2 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (2 x + 1)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Paso 2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 x + 1}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$2 x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 4

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 1$

Paso 5

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 6

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 7

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 8

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = - \frac{1}{2}$

$x = - 3$

$x = 2$

Paso 9

Consolida las soluciones.

$x = - \frac{1}{2}, - 3, 2$

Paso 10

Obtén el dominio de $- \frac{2 x + 1}{(x + 3) (x - 2)}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Establece el denominador en $\frac{2 x + 1}{(x + 3) (x - 2)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$(x + 3) (x - 2) = 0$

Paso 10.2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 10.2.2

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.2.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 10.2.2.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 10.2.3

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.3.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 10.2.3.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 10.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 3) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = - 3, 2$

Paso 10.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 11

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 3$

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < 2$

$x > 2$

Paso 12

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 12.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$\frac{(- 6) + 2}{(- 6) + 3} < \frac{(- 6) - 1}{(- 6) - 2}$

Paso 12.1.3

$1.\overline{3}$ del lado izquierdo no es menor que $0.875$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 12.2

Prueba un valor en el intervalo $- 3 < x < - \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 3 < x < - \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 12.2.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\frac{(- 2) + 2}{(- 2) + 3} < \frac{(- 2) - 1}{(- 2) - 2}$

Paso 12.2.3

$0$ del lado izquierdo es menor que $0.75$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 12.3

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{1}{2} < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.3.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{1}{2} < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 12.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{(0) + 2}{(0) + 3} < \frac{(0) - 1}{(0) - 2}$

Paso 12.3.3

$0.\overline{6}$ del lado izquierdo no es menor que $0.5$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 12.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 12.4.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{(4) + 2}{(4) + 3} < \frac{(4) - 1}{(4) - 2}$

Paso 12.4.3

$0.\overline{857142}$ del lado izquierdo es menor que $1.5$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 12.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$ Verdadero

$- \frac{1}{2} < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadero

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$ Verdadero

$- \frac{1}{2} < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadero

Paso 13

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$ o $x > 2$

Paso 14

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- 3, - \frac{1}{2}) \cup (2, \infty)$

Paso 15