Precálculo Ejemplos

$y = 2 \cos (\frac{1}{2} x)$

Paso 1

Usa la forma $a \cos (b x - c) + d$ para obtener las variables utilizadas para obtener la amplitud, el período, el desfase y el desplazamiento vertical.

$a = 2$

$b = \frac{1}{2}$

$c = 0$

$d = 0$

Paso 2

Obtén la amplitud $| a |$ .

Amplitud: $2$

Paso 3

Obtén el período de $2 \cos (\frac{x}{2})$ .

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Paso 3.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 3.2

Reemplaza $b$ con $\frac{1}{2}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Paso 3.3

$\frac{1}{2}$ es aproximadamente $0.5$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Paso 3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \cdot 2$

Paso 3.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 π$

Paso 4

Obtén el desfase con la fórmula $\frac{c}{b}$ .

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Paso 4.1

El desfase de la función puede calcularse a partir de $\frac{c}{b}$ .

Desfase: $\frac{c}{b}$

Paso 4.2

Reemplaza los valores de $c$ y $b$ en la ecuación para el desfase.

Desfase: $\frac{0}{\frac{1}{2}}$

Paso 4.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

Desfase: $0 \cdot 2$

Paso 4.4

Multiplica $0$ por $2$ .

Desfase: $0$

Paso 5

Enumera las propiedades de la función trigonométrica.

Amplitud: $2$

Período: $4 π$

Desfase: ninguno

Desplazamiento vertical: ninguno

Paso 6

Selecciona algunos puntos para la gráfica.

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Paso 6.1

Obtén el punto en $x = 0$ .

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Paso 6.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = 2 \cos (\frac{0}{2})$

Paso 6.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.1.2.1

Divide $0$ por $2$ .

$f (0) = 2 \cos (0)$

Paso 6.1.2.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (0) = 2 \cdot 1$

Paso 6.1.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (0) = 2$

Paso 6.1.2.4

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 6.2

Obtén el punto en $x = π$ .

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Paso 6.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $π$ en la expresión.

$f (π) = 2 \cos (\frac{π}{2})$

Paso 6.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.2.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$f (π) = 2 \cdot 0$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$f (π) = 0$

Paso 6.2.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 6.3

Obtén el punto en $x = 2 π$ .

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Paso 6.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $2 π$ en la expresión.

$f (2 π) = 2 \cos (\frac{2 π}{2})$

Paso 6.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$f (2 π) = 2 \cos (\frac{2 π}{2})$

Paso 6.3.2.1.2

Divide $π$ por $1$ .

$f (2 π) = 2 \cos (π)$

Paso 6.3.2.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$f (2 π) = 2 (- \cos (0))$

Paso 6.3.2.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (2 π) = 2 (- 1 \cdot 1)$

Paso 6.3.2.4

Multiplica $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 6.3.2.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (2 π) = 2 \cdot - 1$

Paso 6.3.2.4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (2 π) = - 2$

Paso 6.3.2.5

La respuesta final es $- 2$ .

$- 2$

Paso 6.4

Obtén el punto en $x = 3 π$ .

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Paso 6.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $3 π$ en la expresión.

$f (3 π) = 2 \cos (\frac{3 π}{2})$

Paso 6.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.4.2.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$f (3 π) = 2 \cos (\frac{π}{2})$

Paso 6.4.2.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$f (3 π) = 2 \cdot 0$

Paso 6.4.2.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$f (3 π) = 0$

Paso 6.4.2.4

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 6.5

Obtén el punto en $x = 4 π$ .

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Paso 6.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $4 π$ en la expresión.

$f (4 π) = 2 \cos (\frac{4 π}{2})$

Paso 6.5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.5.2.1

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 6.5.2.1.1

Factoriza $2$ de $4 π$ .

$f (4 π) = 2 \cos (\frac{2 (2 π)}{2})$

Paso 6.5.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.5.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (4 π) = 2 \cos (\frac{2 (2 π)}{2 (1)})$

Paso 6.5.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$f (4 π) = 2 \cos (\frac{2 (2 π)}{2 \cdot 1})$

Paso 6.5.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f (4 π) = 2 \cos (\frac{2 π}{1})$

Paso 6.5.2.1.2.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$f (4 π) = 2 \cos (2 π)$

Paso 6.5.2.2

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$f (4 π) = 2 \cos (0)$

Paso 6.5.2.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (4 π) = 2 \cdot 1$

Paso 6.5.2.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (4 π) = 2$

Paso 6.5.2.5

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 6.6

Enumera los puntos en una tabla.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 2 \\ π & 0 \\ 2 π & - 2 \\ 3 π & 0 \\ 4 π & 2 \end{array}$

Paso 7

La función trigonométrica puede representarse de forma gráfica con la amplitud, el período, el desfase, el desplazamiento vertical y los puntos.

Amplitud: $2$

Período: $4 π$

Desfase: ninguno

Desplazamiento vertical: ninguno

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 2 \\ π & 0 \\ 2 π & - 2 \\ 3 π & 0 \\ 4 π & 2 \end{array}$

Paso 8