Precálculo Ejemplos

$f (t) = e^{\sin (t)} \cos (t)$ , $[0, \frac{π}{2}]$

Paso 1

Escribe $f (t) = e^{\sin (t)} \cos (t)$ como una ecuación.

$y = e^{\sin (t)} \cos (t)$

Paso 2

Sustituye mediante la fórmula de tasa de cambio promedio.

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Paso 2.1

La tasa de cambio promedio de una función puede obtenerse mediante el cálculo del cambio en los valores $y$ de los dos puntos dividido por el cambio en los valores $t$ de los dos puntos.

$\frac{f (\frac{π}{2}) - f (0)}{(\frac{π}{2}) - (0)}$

Paso 2.2

Sustituye la ecuación $y = e^{\sin (t)} \cos (t)$ por $f (\frac{π}{2})$ y $f (0)$ , mediante el reemplazo de $t$ en la función por el valor correspondiente de $t$ .

$\frac{(e^{\sin (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2})) - (e^{\sin (0)} \cos (0))}{(\frac{π}{2}) - (0)}$

Paso 3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por $2$ .

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Paso 3.1.1

Multiplica $\frac{e^{\sin (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2}) - e^{\sin (0)} \cos (0)}{\frac{π}{2} - (0)}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{e^{\sin (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2}) - e^{\sin (0)} \cos (0)}{\frac{π}{2} - (0)}$

Paso 3.1.2

Combinar.

$\frac{2 (e^{\sin (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2}) - e^{\sin (0)} \cos (0))}{2 (\frac{π}{2} - (0))}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (e^{\sin (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2})) + 2 (- e^{\sin (0)} \cos (0))}{2 \frac{π}{2} + 2 (- (0))}$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (e^{\sin (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2})) + 2 (- e^{\sin (0)} \cos (0))}{2 \frac{π}{2} + 2 (- (0))}$

Paso 3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (e^{\sin (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2})) + 2 (- e^{\sin (0)} \cos (0))}{π + 2 (- (0))}$

Paso 3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$\frac{2 e^{1} \cos (\frac{π}{2}) + 2 (- e^{\sin (0)} \cos (0))}{π + 2 (- (0))}$

Paso 3.4.2

Simplifica.

$\frac{2 e \cos (\frac{π}{2}) + 2 (- e^{\sin (0)} \cos (0))}{π + 2 (- (0))}$

Paso 3.4.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$\frac{2 e \cdot 0 + 2 (- e^{\sin (0)} \cos (0))}{π + 2 (- (0))}$

Paso 3.4.4

Multiplica $2 e \cdot 0$ .

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Paso 3.4.4.1

Multiplica $0$ por $2$ .

$\frac{0 e + 2 (- e^{\sin (0)} \cos (0))}{π + 2 (- (0))}$

Paso 3.4.4.2

Multiplica $0$ por $e$ .

$\frac{0 + 2 (- e^{\sin (0)} \cos (0))}{π + 2 (- (0))}$

Paso 3.4.5

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0 + 2 (- e^{0} \cos (0))}{π + 2 (- (0))}$

Paso 3.4.6

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{0 + 2 (- 1 \cdot 1 \cos (0))}{π + 2 (- (0))}$

Paso 3.4.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0 + 2 (- 1 \cos (0))}{π + 2 (- (0))}$

Paso 3.4.8

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{0 + 2 (- 1 \cdot 1)}{π + 2 (- (0))}$

Paso 3.4.9

Multiplica $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 3.4.9.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0 + 2 \cdot - 1}{π + 2 (- (0))}$

Paso 3.4.9.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{0 - 2}{π + 2 (- (0))}$

Paso 3.4.10

Resta $2$ de $0$ .

$\frac{- 2}{π + 2 (- (0))}$

Paso 3.5

Simplifica el denominador.

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Paso 3.5.1

Multiplica $2 (- (0))$ .

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Paso 3.5.1.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{- 2}{π + 2 \cdot 0}$

Paso 3.5.1.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{- 2}{π + 0}$

Paso 3.5.2

Suma $π$ y $0$ .

$\frac{- 2}{π}$

Paso 3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{π}$