Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x - 2}{x^{2} - 2 x}$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = \frac{(x + h) - 2}{{(x + h)}^{2} - 2 (x + h)}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $x + h$ de ${(x + h)}^{2} - 2 (x + h)$ .

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Paso 2.1.2.1.1

Factoriza $x + h$ de ${(x + h)}^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x + h - 2}{(x + h) (x + h) - 2 (x + h)}$

Paso 2.1.2.1.2

Factoriza $x + h$ de $- 2 (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{x + h - 2}{(x + h) (x + h) + (x + h) \cdot - 2}$

Paso 2.1.2.1.3

Factoriza $x + h$ de $(x + h) (x + h) + (x + h) \cdot - 2$ .

$f (x + h) = \frac{x + h - 2}{(x + h) (x + h - 2)}$

Paso 2.1.2.2

Cancela el factor común de $x + h - 2$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$f (x + h) = \frac{x + h - 2}{(x + h) (x + h - 2)}$

Paso 2.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

Paso 2.1.2.3

La respuesta final es $\frac{1}{x + h}$ .

$\frac{1}{x + h}$

Paso 2.2

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

$f (x) = \frac{1}{x}$

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

$f (x) = \frac{1}{x}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{1}{x + h} - (\frac{1}{x})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Para escribir $\frac{1}{x + h}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}}{h}$

Paso 4.1.2

Para escribir $- \frac{1}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Paso 4.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + h) x$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1.3.1

Multiplica $\frac{1}{x + h}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{(x + h) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Paso 4.1.3.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{x}{(x + h) x} - \frac{x + h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.3.3

Reordena los factores de $(x + h) x$ .

$\frac{\frac{x}{x (x + h)} - \frac{x + h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5

Reescribe $\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}$ en forma factorizada.

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Paso 4.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{x - x - h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.2

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{\frac{0 - h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.3

Resta $h$ de $0$ .

$\frac{\frac{- h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{- \frac{h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{h}{x (x + h)}$ al numerador.

$\frac{- h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.2

Factoriza $h$ de $- h$ .

$\frac{h \cdot - 1}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{h \cdot - 1}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{x (x + h)}$

Paso 4.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{x (x + h)}$

Paso 5