Precálculo Ejemplos

$g (t) = \frac{t}{\sqrt{9 + t^{2}}}$ , $[4, 9]$

Paso 1

Escribe $g (t) = \frac{t}{\sqrt{9 + t^{2}}}$ como una ecuación.

$y = \frac{t}{\sqrt{9 + t^{2}}}$

Paso 2

Sustituye mediante la fórmula de tasa de cambio promedio.

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Paso 2.1

La tasa de cambio promedio de una función puede obtenerse mediante el cálculo del cambio en los valores $y$ de los dos puntos dividido por el cambio en los valores $t$ de los dos puntos.

$\frac{f (9) - f (4)}{(9) - (4)}$

Paso 2.2

Sustituye la ecuación $y = \frac{t}{\sqrt{9 + t^{2}}}$ por $f (9)$ y $f (4)$ , mediante el reemplazo de $t$ en la función por el valor correspondiente de $t$ .

$\frac{(\frac{9}{\sqrt{9 + {(9)}^{2}}}) - (\frac{4}{\sqrt{9 + {(4)}^{2}}})}{(9) - (4)}$

Paso 3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por $\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}}$ .

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Paso 3.1.1

Multiplica $\frac{\frac{9}{\sqrt{9 + 9^{2}}} - \frac{4}{\sqrt{9 + 4^{2}}}}{9 - (4)}$ por $\frac{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}}}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}}}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}}} \cdot \frac{\frac{9}{\sqrt{9 + 9^{2}}} - \frac{4}{\sqrt{9 + 4^{2}}}}{9 - (4)}$

Paso 3.1.2

Combinar.

$\frac{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (\frac{9}{\sqrt{9 + 9^{2}}} - \frac{4}{\sqrt{9 + 4^{2}}})}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (9 - (4))}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \frac{9}{\sqrt{9 + 9^{2}}} + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- \frac{4}{\sqrt{9 + 4^{2}}})}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Paso 3.3

Simplifica mediante la cancelación.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $\sqrt{9 + 9^{2}}$ .

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Paso 3.3.1.1

Factoriza $\sqrt{9 + 9^{2}}$ de $\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{9 + 9^{2}} (\sqrt{9 + 4^{2}}) \frac{9}{\sqrt{9 + 9^{2}}} + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- \frac{4}{\sqrt{9 + 4^{2}}})}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Paso 3.3.1.2

Cancela el factor común.

Paso 3.3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- \frac{4}{\sqrt{9 + 4^{2}}})}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común de $\sqrt{9 + 4^{2}}$ .

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Paso 3.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4}{\sqrt{9 + 4^{2}}}$ al numerador.

$\frac{\sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \frac{- 4}{\sqrt{9 + 4^{2}}}}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Paso 3.3.2.2

Factoriza $\sqrt{9 + 4^{2}}$ de $\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 4^{2}} \sqrt{9 + 9^{2}} \frac{- 4}{\sqrt{9 + 4^{2}}}}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Paso 3.3.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 4^{2}} \sqrt{9 + 9^{2}} \frac{- 4}{\sqrt{9 + 4^{2}}}}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Paso 3.3.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \cdot - 4}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Paso 3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 16} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \cdot - 4}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Paso 3.4.2

Suma $9$ y $16$ .

$\frac{\sqrt{25} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \cdot - 4}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Paso 3.4.3

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \cdot - 4}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Paso 3.4.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{5 \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \cdot - 4}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Paso 3.4.5

Multiplica $5$ por $9$ .

$\frac{45 + \sqrt{9 + 9^{2}} \cdot - 4}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Paso 3.4.6

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$\frac{45 + \sqrt{9 + 81} \cdot - 4}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Paso 3.4.7

Suma $9$ y $81$ .

$\frac{45 + \sqrt{90} \cdot - 4}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Paso 3.4.8

Reescribe $90$ como $3^{2} \cdot 10$ .

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Paso 3.4.8.1

Factoriza $9$ de $90$ .

$\frac{45 + \sqrt{9 (10)} \cdot - 4}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Paso 3.4.8.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{45 + \sqrt{3^{2} \cdot 10} \cdot - 4}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Paso 3.4.9

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{45 + 3 \sqrt{10} \cdot - 4}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Paso 3.4.10

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Paso 3.5

Simplifica el denominador.

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Paso 3.5.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{\sqrt{(9 + 9^{2}) (9 + 4^{2})} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Paso 3.5.2

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{\sqrt{(9 + 81) (9 + 4^{2})} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Paso 3.5.3

Suma $9$ y $81$ .

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{\sqrt{90 (9 + 4^{2})} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Paso 3.5.4

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{\sqrt{90 (9 + 16)} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Paso 3.5.5

Suma $9$ y $16$ .

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{\sqrt{90 \cdot 25} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Paso 3.5.6

Multiplica $90$ por $25$ .

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{\sqrt{2250} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Paso 3.5.7

Reescribe $2250$ como $15^{2} \cdot 10$ .

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Paso 3.5.7.1

Factoriza $225$ de $2250$ .

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{\sqrt{225 (10)} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Paso 3.5.7.2

Reescribe $225$ como $15^{2}$ .

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{\sqrt{15^{2} \cdot 10} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Paso 3.5.8

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{15 \sqrt{10} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Paso 3.5.9

Multiplica $9$ por $15$ .

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Paso 3.5.10

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} + \sqrt{(9 + 9^{2}) (9 + 4^{2})} (- (4))}$

Paso 3.5.11

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} + \sqrt{(9 + 81) (9 + 4^{2})} (- (4))}$

Paso 3.5.12

Suma $9$ y $81$ .

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} + \sqrt{90 (9 + 4^{2})} (- (4))}$

Paso 3.5.13

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} + \sqrt{90 (9 + 16)} (- (4))}$

Paso 3.5.14

Suma $9$ y $16$ .

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} + \sqrt{90 \cdot 25} (- (4))}$

Paso 3.5.15

Multiplica $90$ por $25$ .

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} + \sqrt{2250} (- (4))}$

Paso 3.5.16

Reescribe $2250$ como $15^{2} \cdot 10$ .

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Paso 3.5.16.1

Factoriza $225$ de $2250$ .

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} + \sqrt{225 (10)} (- (4))}$

Paso 3.5.16.2

Reescribe $225$ como $15^{2}$ .

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} + \sqrt{15^{2} \cdot 10} (- (4))}$

Paso 3.5.17

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} + 15 \sqrt{10} (- (4))}$

Paso 3.5.18

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} + 15 \sqrt{10} \cdot - 4}$

Paso 3.5.19

Multiplica $- 4$ por $15$ .

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} - 60 \sqrt{10}}$

Paso 3.5.20

Resta $60 \sqrt{10}$ de $135 \sqrt{10}$ .

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{75 \sqrt{10}}$

Paso 3.6

Cancela el factor común de $45 - 12 \sqrt{10}$ y $75$ .

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Paso 3.6.1

Factoriza $3$ de $45$ .

$\frac{3 (15) - 12 \sqrt{10}}{75 \sqrt{10}}$

Paso 3.6.2

Factoriza $3$ de $- 12 \sqrt{10}$ .

$\frac{3 (15) + 3 (- 4 \sqrt{10})}{75 \sqrt{10}}$

Paso 3.6.3

Factoriza $3$ de $3 (15) + 3 (- 4 \sqrt{10})$ .

$\frac{3 (15 - 4 \sqrt{10})}{75 \sqrt{10}}$

Paso 3.6.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.6.4.1

Factoriza $3$ de $75 \sqrt{10}$ .

$\frac{3 (15 - 4 \sqrt{10})}{3 (25 \sqrt{10})}$

Paso 3.6.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (15 - 4 \sqrt{10})}{3 (25 \sqrt{10})}$

Paso 3.6.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{15 - 4 \sqrt{10}}{25 \sqrt{10}}$

Paso 3.7

Multiplica $\frac{15 - 4 \sqrt{10}}{25 \sqrt{10}}$ por $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{15 - 4 \sqrt{10}}{25 \sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Paso 3.8

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.8.1

Multiplica $\frac{15 - 4 \sqrt{10}}{25 \sqrt{10}}$ por $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 \sqrt{10} \sqrt{10}}$

Paso 3.8.2

Mueve $\sqrt{10}$ .

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 (\sqrt{10} \sqrt{10})}$

Paso 3.8.3

Eleva $\sqrt{10}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 ({\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10})}$

Paso 3.8.4

Eleva $\sqrt{10}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 ({\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1})}$

Paso 3.8.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 {\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Paso 3.8.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 {\sqrt{10}}^{2}}$

Paso 3.8.7

Reescribe ${\sqrt{10}}^{2}$ como $10$ .

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Paso 3.8.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{10}$ como $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.8.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.8.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.8.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.8.7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.8.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 \cdot 10^{1}}$

Paso 3.8.7.5

Evalúa el exponente.

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 \cdot 10}$

Paso 3.9

Multiplica $25$ por $10$ .

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{250}$

Paso 3.10

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{15 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} \sqrt{10}}{250}$

Paso 3.11

Multiplica $- 4 \sqrt{10} \sqrt{10}$ .

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Paso 3.11.1

Eleva $\sqrt{10}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{15 \sqrt{10} - 4 ({\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10})}{250}$

Paso 3.11.2

Eleva $\sqrt{10}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{15 \sqrt{10} - 4 ({\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1})}{250}$

Paso 3.11.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{15 \sqrt{10} - 4 {\sqrt{10}}^{1 + 1}}{250}$

Paso 3.11.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{15 \sqrt{10} - 4 {\sqrt{10}}^{2}}{250}$

Paso 3.12

Simplifica cada término.

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Paso 3.12.1

Reescribe ${\sqrt{10}}^{2}$ como $10$ .

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Paso 3.12.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{10}$ como $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{15 \sqrt{10} - 4 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}{250}$

Paso 3.12.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{15 \sqrt{10} - 4 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{250}$

Paso 3.12.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{15 \sqrt{10} - 4 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}{250}$

Paso 3.12.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.12.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{15 \sqrt{10} - 4 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}{250}$

Paso 3.12.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{15 \sqrt{10} - 4 \cdot 10^{1}}{250}$

Paso 3.12.1.5

Evalúa el exponente.

$\frac{15 \sqrt{10} - 4 \cdot 10}{250}$

Paso 3.12.2

Multiplica $- 4$ por $10$ .

$\frac{15 \sqrt{10} - 40}{250}$

Paso 3.13

Cancela el factor común de $15 \sqrt{10} - 40$ y $250$ .

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Paso 3.13.1

Factoriza $5$ de $15 \sqrt{10}$ .

$\frac{5 (3 \sqrt{10}) - 40}{250}$

Paso 3.13.2

Factoriza $5$ de $- 40$ .

$\frac{5 (3 \sqrt{10}) + 5 (- 8)}{250}$

Paso 3.13.3

Factoriza $5$ de $5 (3 \sqrt{10}) + 5 (- 8)$ .

$\frac{5 (3 \sqrt{10} - 8)}{250}$

Paso 3.13.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.13.4.1

Factoriza $5$ de $250$ .

$\frac{5 (3 \sqrt{10} - 8)}{5 (50)}$

Paso 3.13.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 (3 \sqrt{10} - 8)}{5 \cdot 50}$

Paso 3.13.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 \sqrt{10} - 8}{50}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{3 \sqrt{10} - 8}{50}$

Forma decimal:

$0.02973665 \dots$