Precálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} - \frac{1}{x} - 3$ for $1 \leq x \leq 3$

Paso 1

Escribe $f (x) = x^{2} - \frac{1}{x} - 3$ como una ecuación.

$y = x^{2} - \frac{1}{x} - 3$

Paso 2

Sustituye mediante la fórmula de tasa de cambio promedio.

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Paso 2.1

La tasa de cambio promedio de una función puede obtenerse mediante el cálculo del cambio en los valores $y$ de los dos puntos dividido por el cambio en los valores $x$ de los dos puntos.

$\frac{f (3) - f (1)}{(3) - (1)}$

Paso 2.2

Sustituye la ecuación $y = x^{2} - \frac{1}{x} - 3$ por $f (3)$ y $f (1)$ , mediante el reemplazo de $x$ en la función por el valor correspondiente de $x$ .

$\frac{({(3)}^{2} - \frac{1}{3} - 3) - ({(1)}^{2} - \frac{1}{1} - 3)}{(3) - (1)}$

Paso 3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{{(3)}^{2} - \frac{1}{3} - 3 - ({(1)}^{2} - \frac{1}{1} - 3)}{(3) - (1)}$

Paso 3.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{{(3)}^{2} - \frac{1}{3} - 3 - ({(1)}^{2} - 1 \cdot 1 - 3)}{(3) - (1)}$

Paso 3.2

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por $3$ .

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Paso 3.2.1

Multiplica $\frac{3^{2} - \frac{1}{3} - 3 - (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3)}{3 - (1)}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{3} \cdot \frac{3^{2} - \frac{1}{3} - 3 - (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3)}{3 - (1)}$

Paso 3.2.2

Combinar.

$\frac{3 (3^{2} - \frac{1}{3} - 3 - (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3))}{3 (3 - (1))}$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 \cdot 3^{2} + 3 (- \frac{1}{3}) + 3 \cdot - 3 + 3 (- (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{3}$ al numerador.

$\frac{3 \cdot 3^{2} + 3 (\frac{- 1}{3}) + 3 \cdot - 3 + 3 (- (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Paso 3.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 3^{2} + 3 (\frac{- 1}{3}) + 3 \cdot - 3 + 3 (- (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Paso 3.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 \cdot 3^{2} - 1 + 3 \cdot - 3 + 3 (- (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Paso 3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1

Multiplica $3$ por $3^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.1.1

Multiplica $3$ por $3^{2}$ .

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Paso 3.5.1.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3^{1} \cdot 3^{2} - 1 + 3 \cdot - 3 + 3 (- (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Paso 3.5.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3^{1 + 2} - 1 + 3 \cdot - 3 + 3 (- (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Paso 3.5.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{3^{3} - 1 + 3 \cdot - 3 + 3 (- (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Paso 3.5.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{27 - 1 + 3 \cdot - 3 + 3 (- (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Paso 3.5.3

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$\frac{27 - 1 - 9 + 3 (- (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Paso 3.5.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.4.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{27 - 1 - 9 + 3 (- (1 - 1 \cdot 1 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Paso 3.5.4.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{27 - 1 - 9 + 3 (- (1 - 1 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Paso 3.5.5

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{27 - 1 - 9 + 3 (- (0 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Paso 3.5.6

Resta $3$ de $0$ .

$\frac{27 - 1 - 9 + 3 (- - 3)}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Paso 3.5.7

Multiplica $3 (- - 3)$ .

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Paso 3.5.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{27 - 1 - 9 + 3 \cdot 3}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Paso 3.5.7.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{27 - 1 - 9 + 9}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Paso 3.5.8

Resta $1$ de $27$ .

$\frac{26 - 9 + 9}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Paso 3.5.9

Resta $9$ de $26$ .

$\frac{17 + 9}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Paso 3.5.10

Suma $17$ y $9$ .

$\frac{26}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Paso 3.6

Simplifica el denominador.

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Paso 3.6.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{26}{9 + 3 (- (1))}$

Paso 3.6.2

Multiplica $3 (- (1))$ .

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Paso 3.6.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{26}{9 + 3 \cdot - 1}$

Paso 3.6.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{26}{9 - 3}$

Paso 3.6.3

Resta $3$ de $9$ .

$\frac{26}{6}$

Paso 3.7

Cancela el factor común de $26$ y $6$ .

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Paso 3.7.1

Factoriza $2$ de $26$ .

$\frac{2 (13)}{6}$

Paso 3.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.7.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 3}$

Paso 3.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 3}$

Paso 3.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{13}{3}$