Precálculo Ejemplos

$f (x) = 5 \sqrt[5]{x + 7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = 5 \sqrt[5]{x + 7}$ como una ecuación.

$y = 5 \sqrt[5]{x + 7}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 5 \sqrt[5]{y + 7}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $5 \sqrt[5]{y + 7} = x$ .

$5 \sqrt[5]{y + 7} = x$

Paso 3.2

Divide cada término en $5 \sqrt[5]{y + 7} = x$ por $5$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $5 \sqrt[5]{y + 7} = x$ por $5$ .

$\frac{5 \sqrt[5]{y + 7}}{5} = \frac{x}{5}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 \sqrt[5]{y + 7}}{5} = \frac{x}{5}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $\sqrt[5]{y + 7}$ por $1$ .

$\sqrt[5]{y + 7} = \frac{x}{5}$

Paso 3.3

Para eliminar el radical en el lado izquierdo de la ecuación, eleva a la potencia $5$ ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[5]{y + 7}}^{5} = {(\frac{x}{5})}^{5}$

Paso 3.4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{y + 7}$ como ${(y + 7)}^{\frac{1}{5}}$ .

${({(y + 7)}^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(\frac{x}{5})}^{5}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica ${({(y + 7)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(y + 7)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Paso 3.4.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 7)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(\frac{x}{5})}^{5}$

Paso 3.4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(y + 7)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(\frac{x}{5})}^{5}$

Paso 3.4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(y + 7)}^{1} = {(\frac{x}{5})}^{5}$

Paso 3.4.2.1.2

Simplifica.

$y + 7 = {(\frac{x}{5})}^{5}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Simplifica ${(\frac{x}{5})}^{5}$ .

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Paso 3.4.3.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{x}{5}$ .

$y + 7 = \frac{x^{5}}{5^{5}}$

Paso 3.4.3.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $5$ .

$y + 7 = \frac{x^{5}}{3125}$

Paso 3.5

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{x^{5}}{3125} - 7$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{3125} - 7$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{3125} - 7$ es la inversa de $f (x) = 5 \sqrt[5]{x + 7}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{{(5 \sqrt[5]{x + 7})}^{5}}{3125} - 7$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1.1

Aplica la regla del producto a $5 \sqrt[5]{x + 7}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{5^{5} {\sqrt[5]{x + 7}}^{5}}{3125} - 7$

Paso 5.2.3.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $5$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 {\sqrt[5]{x + 7}}^{5}}{3125} - 7$

Paso 5.2.3.1.3

Reescribe ${\sqrt[5]{x + 7}}^{5}$ como $x + 7$ .

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Paso 5.2.3.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{x + 7}$ como ${(x + 7)}^{\frac{1}{5}}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 {({(x + 7)}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{3125} - 7$

Paso 5.2.3.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 {(x + 7)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{3125} - 7$

Paso 5.2.3.1.3.3

Combina $\frac{1}{5}$ y $5$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 {(x + 7)}^{\frac{5}{5}}}{3125} - 7$

Paso 5.2.3.1.3.4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.2.3.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 {(x + 7)}^{\frac{5}{5}}}{3125} - 7$

Paso 5.2.3.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 (x + 7)}{3125} - 7$

Paso 5.2.3.1.3.5

Simplifica.

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 (x + 7)}{3125} - 7$

Paso 5.2.3.2

Cancela el factor común de $3125$ .

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Paso 5.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 (x + 7)}{3125} - 7$

Paso 5.2.3.2.2

Divide $x + 7$ por $1$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = x + 7 - 7$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $x + 7 - 7$ .

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Paso 5.2.4.1

Resta $7$ de $7$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{x^{5}}{3125} - 7)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 \sqrt[5]{(\frac{x^{5}}{3125} - 7) + 7}$

Paso 5.3.3

Suma $- 7$ y $7$ .

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{3125} + 0}$

Paso 5.3.4

Suma $\frac{x^{5}}{3125}$ y $0$ .

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{3125}}$

Paso 5.3.5

Reescribe $3125$ como $5^{5}$ .

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{5^{5}}}$

Paso 5.3.6

Reescribe $\frac{x^{5}}{5^{5}}$ como ${(\frac{x}{5})}^{5}$ .

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 \sqrt[5]{{(\frac{x}{5})}^{5}}$

Paso 5.3.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 (\frac{x}{5})$

Paso 5.3.8

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.8.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 (\frac{x}{5})$

Paso 5.3.8.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{3125} - 7$ es la inversa de $f (x) = 5 \sqrt[5]{x + 7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{3125} - 7$