Precálculo Ejemplos

$y + 6 = {(2 x - 5)}^{2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$y = {(2 x - 5)}^{2} - 6$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de ${(2 x - 5)}^{2} - 6$ .

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Paso 1.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.1

Reescribe ${(2 x - 5)}^{2}$ como $(2 x - 5) (2 x - 5)$ .

$(2 x - 5) (2 x - 5) - 6$

Paso 1.2.1.1.2

Expande $(2 x - 5) (2 x - 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x (2 x - 5) - 5 (2 x - 5) - 6$

Paso 1.2.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x - 5) - 6$

Paso 1.2.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - 6$

Paso 1.2.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - 6$

Paso 1.2.1.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.1.1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - 6$

Paso 1.2.1.1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - 6$

Paso 1.2.1.1.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - 6$

Paso 1.2.1.1.3.1.4

Multiplica $- 5$ por $2$ .

$4 x^{2} - 10 x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - 6$

Paso 1.2.1.1.3.1.5

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$4 x^{2} - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 - 6$

Paso 1.2.1.1.3.1.6

Multiplica $- 5$ por $- 5$ .

$4 x^{2} - 10 x - 10 x + 25 - 6$

Paso 1.2.1.1.3.2

Resta $10 x$ de $- 10 x$ .

$4 x^{2} - 20 x + 25 - 6$

Paso 1.2.1.2

Resta $6$ de $25$ .

$4 x^{2} - 20 x + 19$

Paso 1.2.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 4$

$b = - 20$

$c = 19$

Paso 1.2.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 20}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Cancela el factor común de $- 20$ y $2$ .

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Paso 1.2.4.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 20$ .

$d = \frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 10}{2 (4)}$

Paso 1.2.4.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.4.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 10}{4}$

Paso 1.2.4.2.2

Cancela el factor común de $- 10$ y $4$ .

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Paso 1.2.4.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 10$ .

$d = \frac{2 (- 5)}{4}$

Paso 1.2.4.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.4.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.4.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 5}{2}$

Paso 1.2.4.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{5}{2}$

Paso 1.2.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 19 - \frac{{(- 20)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Paso 1.2.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.5.2.1.1

Eleva $- 20$ a la potencia de $2$ .

$e = 19 - \frac{400}{4 \cdot 4}$

Paso 1.2.5.2.1.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$e = 19 - \frac{400}{16}$

Paso 1.2.5.2.1.3

Divide $400$ por $16$ .

$e = 19 - 1 \cdot 25$

Paso 1.2.5.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$e = 19 - 25$

Paso 1.2.5.2.2

Resta $25$ de $19$ .

$e = - 6$

Paso 1.2.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $4 {(x - \frac{5}{2})}^{2} - 6$ .

$4 {(x - \frac{5}{2})}^{2} - 6$

Paso 1.3

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = 4 {(x - \frac{5}{2})}^{2} - 6$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = 4$

$h = \frac{5}{2}$

$k = - 6$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(\frac{5}{2}, - 6)$

Paso 4