Precálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt[3]{9 (x - 9)}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = \sqrt[3]{9 (x - 9)}$ como una ecuación.

$y = \sqrt[3]{9 (x - 9)}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \sqrt[3]{9 (y - 9)}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt[3]{9 (y - 9)} = x$ .

$\sqrt[3]{9 (y - 9)} = x$

Paso 3.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{9 (y - 9)}}^{3} = x^{3}$

Paso 3.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{9 (y - 9)}$ como ${(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica ${({(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Paso 3.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Paso 3.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(9 (y - 9))}^{1} = x^{3}$

Paso 3.3.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

${(9 y + 9 \cdot - 9)}^{1} = x^{3}$

Paso 3.3.2.1.3

Multiplica.

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Paso 3.3.2.1.3.1

Multiplica $9$ por $- 9$ .

${(9 y - 81)}^{1} = x^{3}$

Paso 3.3.2.1.3.2

Simplifica.

$9 y - 81 = x^{3}$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Suma $81$ a ambos lados de la ecuación.

$9 y = x^{3} + 81$

Paso 3.4.2

Divide cada término en $9 y = x^{3} + 81$ por $9$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.1

Divide cada término en $9 y = x^{3} + 81$ por $9$ .

$\frac{9 y}{9} = \frac{x^{3}}{9} + \frac{81}{9}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 3.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 y}{9} = \frac{x^{3}}{9} + \frac{81}{9}$

Paso 3.4.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{9} + \frac{81}{9}$

Paso 3.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.3.1

Divide $81$ por $9$ .

$y = \frac{x^{3}}{9} + 9$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{9} + 9$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{9} + 9$ es la inversa de $f (x) = \sqrt[3]{9 (x - 9)}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{{(\sqrt[3]{9 (x - 9)})}^{3}}{9} + 9$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1.1

Reescribe ${\sqrt[3]{9 (x - 9)}}^{3}$ como $9 (x - 9)$ .

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Paso 5.2.3.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{9 (x - 9)}$ como ${(9 (x - 9))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{{({(9 (x - 9))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{9} + 9$

Paso 5.2.3.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{{(9 (x - 9))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{9} + 9$

Paso 5.2.3.1.1.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{{(9 (x - 9))}^{\frac{3}{3}}}{9} + 9$

Paso 5.2.3.1.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.3.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{{(9 (x - 9))}^{\frac{3}{3}}}{9} + 9$

Paso 5.2.3.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 (x - 9)}{9} + 9$

Paso 5.2.3.1.1.5

Simplifica.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 (x - 9)}{9} + 9$

Paso 5.2.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 x + 9 \cdot - 9}{9} + 9$

Paso 5.2.3.1.3

Multiplica $9$ por $- 9$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 x - 81}{9} + 9$

Paso 5.2.3.1.4

Factoriza $9$ de $9 x - 81$ .

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Paso 5.2.3.1.4.1

Factoriza $9$ de $9 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 (x) - 81}{9} + 9$

Paso 5.2.3.1.4.2

Factoriza $9$ de $- 81$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 x + 9 \cdot - 9}{9} + 9$

Paso 5.2.3.1.4.3

Factoriza $9$ de $9 x + 9 \cdot - 9$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 (x - 9)}{9} + 9$

Paso 5.2.3.2

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 5.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 (x - 9)}{9} + 9$

Paso 5.2.3.2.2

Divide $x - 9$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = x - 9 + 9$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $x - 9 + 9$ .

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Paso 5.2.4.1

Suma $- 9$ y $9$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{x^{3}}{9} + 9)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{9 ((\frac{x^{3}}{9} + 9) - 9)}$

Paso 5.3.3

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 5.3.3.1

Resta $9$ de $9$ .

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{9 (\frac{x^{3}}{9} + 0)}$

Paso 5.3.3.2

Suma $\frac{x^{3}}{9}$ y $0$ .

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{9 (\frac{x^{3}}{9})}$

Paso 5.3.4

Combina $9$ y $\frac{x^{3}}{9}$ .

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{\frac{9 x^{3}}{9}}$

Paso 5.3.5

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.3.5.1

Reduce la expresión $\frac{9 x^{3}}{9}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.3.5.1.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{\frac{9 x^{3}}{9}}$

Paso 5.3.5.1.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{1}}$

Paso 5.3.5.2

Divide $x^{3}$ por $1$ .

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Paso 5.3.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{9} + 9$ es la inversa de $f (x) = \sqrt[3]{9 (x - 9)}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{9} + 9$