Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{7}}{8} + 8$ ; find $f^{- 1} (x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{x^{7}}{8} + 8$ como una ecuación.

$y = \frac{x^{7}}{8} + 8$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{y^{7}}{8} + 8$

Paso 3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{y^{7}}{8} + 8 = x$ .

$\frac{y^{7}}{8} + 8 = x$

Paso 3.2

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y^{7}}{8} = x - 8$

Paso 3.3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $8$ .

$8 \frac{y^{7}}{8} = 8 (x - 8)$

Paso 3.4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1.1

Cancela el factor común de $8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$8 \frac{y^{7}}{8} = 8 (x - 8)$

Paso 3.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y^{7} = 8 (x - 8)$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.1

Simplifica $8 (x - 8)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{7} = 8 x + 8 \cdot - 8$

Paso 3.4.2.1.2

Multiplica $8$ por $- 8$ .

$y^{7} = 8 x - 64$

Paso 3.5

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[7]{8 x - 64}$

Paso 3.6

Factoriza $8$ de $8 x - 64$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.1

Factoriza $8$ de $8 x$ .

$y = \sqrt[7]{8 (x) - 64}$

Paso 3.6.2

Factoriza $8$ de $- 64$ .

$y = \sqrt[7]{8 x + 8 \cdot - 8}$

Paso 3.6.3

Factoriza $8$ de $8 x + 8 \cdot - 8$ .

$y = \sqrt[7]{8 (x - 8)}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{8 (x - 8)}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{8 (x - 8)}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x^{7}}{8} + 8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{x^{7}}{8} + 8)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{7}}{8} + 8) = \sqrt[7]{8 ((\frac{x^{7}}{8} + 8) - 8)}$

Paso 5.2.3

Simplifica mediante la resta de números.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1

Resta $8$ de $8$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{7}}{8} + 8) = \sqrt[7]{8 (\frac{x^{7}}{8} + 0)}$

Paso 5.2.3.2

Suma $\frac{x^{7}}{8}$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{7}}{8} + 8) = \sqrt[7]{8 (\frac{x^{7}}{8})}$

Paso 5.2.4

Combina $8$ y $\frac{x^{7}}{8}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{7}}{8} + 8) = \sqrt[7]{\frac{8 x^{7}}{8}}$

Paso 5.2.5

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.5.1

Reduce la expresión $\frac{8 x^{7}}{8}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.5.1.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x^{7}}{8} + 8) = \sqrt[7]{\frac{8 x^{7}}{8}}$

Paso 5.2.5.1.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{x^{7}}{8} + 8) = \sqrt[7]{\frac{x^{7}}{1}}$

Paso 5.2.5.2

Divide $x^{7}$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{7}}{8} + 8) = \sqrt[7]{x^{7}}$

Paso 5.2.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f^{- 1} (\frac{x^{7}}{8} + 8) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\sqrt[7]{8 (x - 8)})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{{(\sqrt[7]{8 (x - 8)})}^{7}}{8} + 8$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1.1

Reescribe ${\sqrt[7]{8 (x - 8)}}^{7}$ como $8 (x - 8)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[7]{8 (x - 8)}$ como ${(8 (x - 8))}^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{{({(8 (x - 8))}^{\frac{1}{7}})}^{7}}{8} + 8$

Paso 5.3.3.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{{(8 (x - 8))}^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{8} + 8$

Paso 5.3.3.1.1.3

Combina $\frac{1}{7}$ y $7$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{{(8 (x - 8))}^{\frac{7}{7}}}{8} + 8$

Paso 5.3.3.1.1.4

Cancela el factor común de $7$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{{(8 (x - 8))}^{\frac{7}{7}}}{8} + 8$

Paso 5.3.3.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{8 (x - 8)}{8} + 8$

Paso 5.3.3.1.1.5

Simplifica.

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{8 (x - 8)}{8} + 8$

Paso 5.3.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{8 x + 8 \cdot - 8}{8} + 8$

Paso 5.3.3.1.3

Multiplica $8$ por $- 8$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{8 x - 64}{8} + 8$

Paso 5.3.3.1.4

Factoriza $8$ de $8 x - 64$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1.4.1

Factoriza $8$ de $8 x$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{8 (x) - 64}{8} + 8$

Paso 5.3.3.1.4.2

Factoriza $8$ de $- 64$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{8 x + 8 \cdot - 8}{8} + 8$

Paso 5.3.3.1.4.3

Factoriza $8$ de $8 x + 8 \cdot - 8$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{8 (x - 8)}{8} + 8$

Paso 5.3.3.2

Cancela el factor común de $8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.2.1

Cancela el factor común.

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{8 (x - 8)}{8} + 8$

Paso 5.3.3.2.2

Divide $x - 8$ por $1$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = x - 8 + 8$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $x - 8 + 8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.4.1

Suma $- 8$ y $8$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{8 (x - 8)}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x^{7}}{8} + 8$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{8 (x - 8)}$