Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ no está definida.

$x = \ln (2), x = \ln (3)$

Paso 2

Como $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $\ln (2)$ desde la izquierda y $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $\ln (2)$ desde la derecha, entonces $x = \ln (2)$ es una asíntota vertical.

$x = \ln (2)$

Paso 3

Como $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $\ln (3)$ desde la izquierda y $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $\ln (3)$ desde la derecha, entonces $x = \ln (3)$ es una asíntota vertical.

$x = \ln (3)$

Paso 4

Enumera todas las asíntotas verticales:

$x = \ln (2), \ln (3)$

Paso 5

Evalúa $lim_{x \to - \infty} \frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ para obtener la asíntota horizontal.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3 e^{2 x} + 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Paso 5.1.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3 e^{2 x} + lim_{x \to - \infty} 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Paso 5.1.3

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to - \infty} e^{2 x} + lim_{x \to - \infty} 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Paso 5.2

Como el exponente $2 x$ se acerca a $- \infty$ , la cantidad $e^{2 x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Paso 5.3

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Paso 5.3.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - lim_{x \to - \infty} 5 e^{x} + lim_{x \to - \infty} 6}$

Paso 5.4

Como el exponente $2 x$ se acerca a $- \infty$ , la cantidad $e^{2 x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - lim_{x \to - \infty} 5 e^{x} + lim_{x \to - \infty} 6}$

Paso 5.5

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - 5 lim_{x \to - \infty} e^{x} + lim_{x \to - \infty} 6}$

Paso 5.6

Como el exponente $x$ se acerca a $- \infty$ , la cantidad $e^{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - 5 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} 6}$

Paso 5.7

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.1

Evalúa el límite de $6$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - 5 \cdot 0 + 6}$

Paso 5.7.2

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.2.1

Cancela el factor común de $3 \cdot 0 + 2$ y $0 - 5 \cdot 0 + 6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.2.1.1

Reescribe $0$ como $- 1 (0)$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0) - 5 \cdot 0 + 6}$

Paso 5.7.2.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 5 \cdot 0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0) - (5 \cdot 0) + 6}$

Paso 5.7.2.1.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (0) - (5 \cdot 0)$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 5 \cdot 0) + 6}$

Paso 5.7.2.1.4

Reescribe $6$ como $- 1 (- 6)$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 5 \cdot 0) - 1 \cdot - 6}$

Paso 5.7.2.1.5

Factoriza $- 1$ de $- 1 (0 + 5 \cdot 0) - 1 \cdot - 6$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 5 \cdot 0 - 6)}$

Paso 5.7.2.1.6

Reordena los términos.

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

Paso 5.7.2.1.7

Factoriza $2$ de $3 \cdot 0$ .

$\frac{2 (3 \cdot 0) + 2}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

Paso 5.7.2.1.8

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (3 \cdot 0) + 2 (1)}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

Paso 5.7.2.1.9

Factoriza $2$ de $2 (3 \cdot 0) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (3 \cdot 0 + 1)}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

Paso 5.7.2.1.10

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.2.1.10.1

Factoriza $2$ de $- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)$ .

$\frac{2 (3 \cdot 0 + 1)}{2 (- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3))}$

Paso 5.7.2.1.10.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (3 \cdot 0 + 1)}{2 (- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3))}$

Paso 5.7.2.1.10.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 \cdot 0 + 1}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3)}$

Paso 5.7.2.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.2.2.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{0 + 1}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3)}$

Paso 5.7.2.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{1}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3)}$

Paso 5.7.2.3

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.2.3.1

Multiplica $0$ por $5$ .

$\frac{1}{- 1 (0 + 0 - 3)}$

Paso 5.7.2.3.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{1}{- 1 (0 - 3)}$

Paso 5.7.2.3.3

Resta $3$ de $0$ .

$\frac{1}{- 1 \cdot - 3}$

Paso 5.7.2.4

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{1}{3}$

Paso 6

Enumera las asíntotas horizontales:

$y = \frac{1}{3}$

Paso 7

No hay ninguna asíntota oblicua porque el grado del numerador es menor o igual que el grado del denominador.

No hay asíntotas oblicuas

Paso 8

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = \ln (2), \ln (3)$

Asíntotas horizontales: $y = \frac{1}{3}$

No hay asíntotas oblicuas

Paso 9