Preálgebra Ejemplos

$y = \frac{1}{24} \cdot {(x - 3)}^{2} + 4$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{24}$

$h = 3$

$k = 4$

Paso 1.2

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 1.3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(3, 4)$

Paso 1.4

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.4.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.4.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{24}}$

Paso 1.4.3

Simplifica.

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Paso 1.4.3.1

Combina $4$ y $\frac{1}{24}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{24}}$

Paso 1.4.3.2

Cancela el factor común de $4$ y $24$ .

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Paso 1.4.3.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{24}}$

Paso 1.4.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.3.2.2.1

Factoriza $4$ de $24$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}}$

Paso 1.4.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}}$

Paso 1.4.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\frac{1}{6}}$

Paso 1.4.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 \cdot 6$

Paso 1.4.3.4

Multiplica $6$ por $1$ .

$6$

Paso 1.5

Obtén el foco.

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Paso 1.5.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.5.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(3, 10)$

Paso 1.6

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = 3$

Paso 1.7

Obtén la directriz.

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Paso 1.7.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.7.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - 2$

Paso 1.8

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(3, 4)$

Foco: $(3, 10)$

Eje de simetría: $x = 3$

Directriz: $y = - 2$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(3, 4)$

Foco: $(3, 10)$

Eje de simetría: $x = 3$

Directriz: $y = - 2$

Paso 2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{24} - \frac{2}{4} + \frac{35}{8}$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Obtén el denominador común

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $\frac{2}{4}$ por $\frac{6}{6}$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{24} - (\frac{2}{4} \cdot \frac{6}{6}) + \frac{35}{8}$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $\frac{2}{4}$ por $\frac{6}{6}$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{24} - \frac{2 \cdot 6}{4 \cdot 6} + \frac{35}{8}$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $\frac{35}{8}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{24} - \frac{2 \cdot 6}{4 \cdot 6} + \frac{35}{8} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 2.2.1.4

Multiplica $\frac{35}{8}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{24} - \frac{2 \cdot 6}{4 \cdot 6} + \frac{35 \cdot 3}{8 \cdot 3}$

Paso 2.2.1.5

Multiplica $4$ por $6$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{24} - \frac{2 \cdot 6}{24} + \frac{35 \cdot 3}{8 \cdot 3}$

Paso 2.2.1.6

Reordena los factores de $8 \cdot 3$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{24} - \frac{2 \cdot 6}{24} + \frac{35 \cdot 3}{3 \cdot 8}$

Paso 2.2.1.7

Multiplica $3$ por $8$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{24} - \frac{2 \cdot 6}{24} + \frac{35 \cdot 3}{24}$

Paso 2.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (2) = \frac{{(2)}^{2} - 2 \cdot 6 + 35 \cdot 3}{24}$

Paso 2.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (2) = \frac{4 - 2 \cdot 6 + 35 \cdot 3}{24}$

Paso 2.2.3.2

Multiplica $- 2$ por $6$ .

$f (2) = \frac{4 - 12 + 35 \cdot 3}{24}$

Paso 2.2.3.3

Multiplica $35$ por $3$ .

$f (2) = \frac{4 - 12 + 105}{24}$

Paso 2.2.4

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.2.4.1

Resta $12$ de $4$ .

$f (2) = \frac{- 8 + 105}{24}$

Paso 2.2.4.2

Suma $- 8$ y $105$ .

$f (2) = \frac{97}{24}$

Paso 2.2.5

La respuesta final es $\frac{97}{24}$ .

$\frac{97}{24}$

Paso 2.3

El valor de $y$ en $x = 2$ es $\frac{97}{24}$ .

$y = \frac{97}{24}$

Paso 2.4

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{24} - \frac{1}{4} + \frac{35}{8}$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.5.1

Obtén el denominador común

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Paso 2.5.1.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{6}{6}$ .

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{24} - (\frac{1}{4} \cdot \frac{6}{6}) + \frac{35}{8}$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{6}{6}$ .

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{24} - \frac{6}{4 \cdot 6} + \frac{35}{8}$

Paso 2.5.1.3

Multiplica $\frac{35}{8}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{24} - \frac{6}{4 \cdot 6} + \frac{35}{8} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 2.5.1.4

Multiplica $\frac{35}{8}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{24} - \frac{6}{4 \cdot 6} + \frac{35 \cdot 3}{8 \cdot 3}$

Paso 2.5.1.5

Multiplica $4$ por $6$ .

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{24} - \frac{6}{24} + \frac{35 \cdot 3}{8 \cdot 3}$

Paso 2.5.1.6

Reordena los factores de $8 \cdot 3$ .

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{24} - \frac{6}{24} + \frac{35 \cdot 3}{3 \cdot 8}$

Paso 2.5.1.7

Multiplica $3$ por $8$ .

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{24} - \frac{6}{24} + \frac{35 \cdot 3}{24}$

Paso 2.5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (1) = \frac{{(1)}^{2} - 6 + 35 \cdot 3}{24}$

Paso 2.5.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = \frac{1 - 6 + 35 \cdot 3}{24}$

Paso 2.5.3.2

Multiplica $35$ por $3$ .

$f (1) = \frac{1 - 6 + 105}{24}$

Paso 2.5.4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.5.4.1

Resta $6$ de $1$ .

$f (1) = \frac{- 5 + 105}{24}$

Paso 2.5.4.2

Suma $- 5$ y $105$ .

$f (1) = \frac{100}{24}$

Paso 2.5.4.3

Cancela el factor común de $100$ y $24$ .

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Paso 2.5.4.3.1

Factoriza $4$ de $100$ .

$f (1) = \frac{4 (25)}{24}$

Paso 2.5.4.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.5.4.3.2.1

Factoriza $4$ de $24$ .

$f (1) = \frac{4 \cdot 25}{4 \cdot 6}$

Paso 2.5.4.3.2.2

Cancela el factor común.

$f (1) = \frac{4 \cdot 25}{4 \cdot 6}$

Paso 2.5.4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f (1) = \frac{25}{6}$

Paso 2.5.5

La respuesta final es $\frac{25}{6}$ .

$\frac{25}{6}$

Paso 2.6

El valor de $y$ en $x = 1$ es $\frac{25}{6}$ .

$y = \frac{25}{6}$

Paso 2.7

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{24} - \frac{4}{4} + \frac{35}{8}$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 2.8.1

Obtén el denominador común

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Paso 2.8.1.1

Multiplica $\frac{4}{4}$ por $\frac{6}{6}$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{24} - (\frac{4}{4} \cdot \frac{6}{6}) + \frac{35}{8}$

Paso 2.8.1.2

Multiplica $\frac{4}{4}$ por $\frac{6}{6}$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{24} - \frac{4 \cdot 6}{4 \cdot 6} + \frac{35}{8}$

Paso 2.8.1.3

Multiplica $\frac{35}{8}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{24} - \frac{4 \cdot 6}{4 \cdot 6} + \frac{35}{8} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 2.8.1.4

Multiplica $\frac{35}{8}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{24} - \frac{4 \cdot 6}{4 \cdot 6} + \frac{35 \cdot 3}{8 \cdot 3}$

Paso 2.8.1.5

Multiplica $4$ por $6$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{24} - \frac{4 \cdot 6}{24} + \frac{35 \cdot 3}{8 \cdot 3}$

Paso 2.8.1.6

Reordena los factores de $8 \cdot 3$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{24} - \frac{4 \cdot 6}{24} + \frac{35 \cdot 3}{3 \cdot 8}$

Paso 2.8.1.7

Multiplica $3$ por $8$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{24} - \frac{4 \cdot 6}{24} + \frac{35 \cdot 3}{24}$

Paso 2.8.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (4) = \frac{{(4)}^{2} - 4 \cdot 6 + 35 \cdot 3}{24}$

Paso 2.8.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.3.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f (4) = \frac{16 - 4 \cdot 6 + 35 \cdot 3}{24}$

Paso 2.8.3.2

Multiplica $- 4$ por $6$ .

$f (4) = \frac{16 - 24 + 35 \cdot 3}{24}$

Paso 2.8.3.3

Multiplica $35$ por $3$ .

$f (4) = \frac{16 - 24 + 105}{24}$

Paso 2.8.4

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.8.4.1

Resta $24$ de $16$ .

$f (4) = \frac{- 8 + 105}{24}$

Paso 2.8.4.2

Suma $- 8$ y $105$ .

$f (4) = \frac{97}{24}$

Paso 2.8.5

La respuesta final es $\frac{97}{24}$ .

$\frac{97}{24}$

Paso 2.9

El valor de $y$ en $x = 4$ es $\frac{97}{24}$ .

$y = \frac{97}{24}$

Paso 2.10

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f (5) = \frac{{(5)}^{2}}{24} - \frac{5}{4} + \frac{35}{8}$

Paso 2.11

Simplifica el resultado.

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Paso 2.11.1

Obtén el denominador común

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Paso 2.11.1.1

Multiplica $\frac{5}{4}$ por $\frac{6}{6}$ .

$f (5) = \frac{{(5)}^{2}}{24} - (\frac{5}{4} \cdot \frac{6}{6}) + \frac{35}{8}$

Paso 2.11.1.2

Multiplica $\frac{5}{4}$ por $\frac{6}{6}$ .

$f (5) = \frac{{(5)}^{2}}{24} - \frac{5 \cdot 6}{4 \cdot 6} + \frac{35}{8}$

Paso 2.11.1.3

Multiplica $\frac{35}{8}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (5) = \frac{{(5)}^{2}}{24} - \frac{5 \cdot 6}{4 \cdot 6} + \frac{35}{8} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 2.11.1.4

Multiplica $\frac{35}{8}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (5) = \frac{{(5)}^{2}}{24} - \frac{5 \cdot 6}{4 \cdot 6} + \frac{35 \cdot 3}{8 \cdot 3}$

Paso 2.11.1.5

Multiplica $4$ por $6$ .

$f (5) = \frac{{(5)}^{2}}{24} - \frac{5 \cdot 6}{24} + \frac{35 \cdot 3}{8 \cdot 3}$

Paso 2.11.1.6

Reordena los factores de $8 \cdot 3$ .

$f (5) = \frac{{(5)}^{2}}{24} - \frac{5 \cdot 6}{24} + \frac{35 \cdot 3}{3 \cdot 8}$

Paso 2.11.1.7

Multiplica $3$ por $8$ .

$f (5) = \frac{{(5)}^{2}}{24} - \frac{5 \cdot 6}{24} + \frac{35 \cdot 3}{24}$

Paso 2.11.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (5) = \frac{{(5)}^{2} - 5 \cdot 6 + 35 \cdot 3}{24}$

Paso 2.11.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.3.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f (5) = \frac{25 - 5 \cdot 6 + 35 \cdot 3}{24}$

Paso 2.11.3.2

Multiplica $- 5$ por $6$ .

$f (5) = \frac{25 - 30 + 35 \cdot 3}{24}$

Paso 2.11.3.3

Multiplica $35$ por $3$ .

$f (5) = \frac{25 - 30 + 105}{24}$

Paso 2.11.4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.11.4.1

Resta $30$ de $25$ .

$f (5) = \frac{- 5 + 105}{24}$

Paso 2.11.4.2

Suma $- 5$ y $105$ .

$f (5) = \frac{100}{24}$

Paso 2.11.4.3

Cancela el factor común de $100$ y $24$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.11.4.3.1

Factoriza $4$ de $100$ .

$f (5) = \frac{4 (25)}{24}$

Paso 2.11.4.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.11.4.3.2.1

Factoriza $4$ de $24$ .

$f (5) = \frac{4 \cdot 25}{4 \cdot 6}$

Paso 2.11.4.3.2.2

Cancela el factor común.

$f (5) = \frac{4 \cdot 25}{4 \cdot 6}$

Paso 2.11.4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f (5) = \frac{25}{6}$

Paso 2.11.5

La respuesta final es $\frac{25}{6}$ .

$\frac{25}{6}$

Paso 2.12

El valor de $y$ en $x = 5$ es $\frac{25}{6}$ .

$y = \frac{25}{6}$

Paso 2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & \frac{25}{6} \\ 2 & \frac{97}{24} \\ 3 & 4 \\ 4 & \frac{97}{24} \\ 5 & \frac{25}{6} \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(3, 4)$

Foco: $(3, 10)$

Eje de simetría: $x = 3$

Directriz: $y = - 2$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & \frac{25}{6} \\ 2 & \frac{97}{24} \\ 3 & 4 \\ 4 & \frac{97}{24} \\ 5 & \frac{25}{6} \end{array}$

Paso 4