Preálgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} + 13 x - 20}{x^{2} - 25} + \frac{x - 1}{x + 5}$

Paso 1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20}{x^{2} - 5^{2}} + \frac{x - 1}{x + 5}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20}{(x + 5) (x - 5)} + \frac{x - 1}{x + 5}$

Paso 2

Para escribir $\frac{x - 1}{x + 5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20}{(x + 5) (x - 5)} + \frac{x - 1}{x + 5} \cdot \frac{x - 5}{x - 5}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{x - 1}{x + 5}$ por $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20}{(x + 5) (x - 5)} + \frac{(x - 1) (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Paso 3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + (x - 1) (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Expande $(x - 1) (x - 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x (x - 5) - 1 (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Paso 4.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x \cdot x + x \cdot - 5 - 1 (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x \cdot x + x \cdot - 5 - 1 x - 1 \cdot - 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Paso 4.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x^{2} + x \cdot - 5 - 1 x - 1 \cdot - 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Paso 4.2.1.2

Mueve $- 5$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x^{2} - 5 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Paso 4.2.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x^{2} - 5 x - x - 1 \cdot - 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Paso 4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x^{2} - 5 x - x + 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Paso 4.2.2

Resta $x$ de $- 5 x$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x^{2} - 6 x + 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Paso 4.3

Suma $x^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 13 x - 20 - 6 x + 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Paso 4.4

Resta $6 x$ de $13 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 7 x - 20 + 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Paso 4.5

Suma $- 20$ y $5$ .

$\frac{2 x^{2} + 7 x - 15}{(x + 5) (x - 5)}$

Paso 4.6

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.6.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ y cuya suma es $b = 7$ .

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Paso 4.6.1.1

Factoriza $7$ de $7 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 7 (x) - 15}{(x + 5) (x - 5)}$

Paso 4.6.1.2

Reescribe $7$ como $- 3$ más $10$

$\frac{2 x^{2} + (- 3 + 10) x - 15}{(x + 5) (x - 5)}$

Paso 4.6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 3 x + 10 x - 15}{(x + 5) (x - 5)}$

Paso 4.6.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.6.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(2 x^{2} - 3 x) + 10 x - 15}{(x + 5) (x - 5)}$

Paso 4.6.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (2 x - 3) + 5 (2 x - 3)}{(x + 5) (x - 5)}$

Paso 4.6.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 3$ .

$\frac{(2 x - 3) (x + 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Paso 5

Cancela el factor común de $x + 5$ .

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Paso 5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(2 x - 3) (x + 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Paso 5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x - 3}{x - 5}$