Preálgebra Ejemplos

$\frac{k + 5}{k + 1} + \frac{8}{k^{2} - 1}$

Paso 1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{k + 5}{k + 1} + \frac{8}{k^{2} - 1^{2}}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = k$ y $b = 1$ .

$\frac{k + 5}{k + 1} + \frac{8}{(k + 1) (k - 1)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{k + 5}{k + 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{k - 1}{k - 1}$ .

$\frac{k + 5}{k + 1} \cdot \frac{k - 1}{k - 1} + \frac{8}{(k + 1) (k - 1)}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{k + 5}{k + 1}$ por $\frac{k - 1}{k - 1}$ .

$\frac{(k + 5) (k - 1)}{(k + 1) (k - 1)} + \frac{8}{(k + 1) (k - 1)}$

Paso 3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(k + 5) (k - 1) + 8}{(k + 1) (k - 1)}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Expande $(k + 5) (k - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{k (k - 1) + 5 (k - 1) + 8}{(k + 1) (k - 1)}$

Paso 4.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{k \cdot k + k \cdot - 1 + 5 (k - 1) + 8}{(k + 1) (k - 1)}$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{k \cdot k + k \cdot - 1 + 5 k + 5 \cdot - 1 + 8}{(k + 1) (k - 1)}$

Paso 4.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $k$ por $k$ .

$\frac{k^{2} + k \cdot - 1 + 5 k + 5 \cdot - 1 + 8}{(k + 1) (k - 1)}$

Paso 4.2.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $k$ .

$\frac{k^{2} - 1 \cdot k + 5 k + 5 \cdot - 1 + 8}{(k + 1) (k - 1)}$

Paso 4.2.1.3

Reescribe $- 1 k$ como $- k$ .

$\frac{k^{2} - k + 5 k + 5 \cdot - 1 + 8}{(k + 1) (k - 1)}$

Paso 4.2.1.4

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{k^{2} - k + 5 k - 5 + 8}{(k + 1) (k - 1)}$

Paso 4.2.2

Suma $- k$ y $5 k$ .

$\frac{k^{2} + 4 k - 5 + 8}{(k + 1) (k - 1)}$

Paso 4.3

Suma $- 5$ y $8$ .

$\frac{k^{2} + 4 k + 3}{(k + 1) (k - 1)}$

Paso 4.4

Factoriza $k^{2} + 4 k + 3$ con el método AC.

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Paso 4.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $3$ y cuya suma es $4$ .

$1, 3$

Paso 4.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(k + 1) (k + 3)}{(k + 1) (k - 1)}$

Paso 5

Cancela el factor común de $k + 1$ .

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Paso 5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(k + 1) (k + 3)}{(k + 1) (k - 1)}$

Paso 5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{k + 3}{k - 1}$