Preálgebra Ejemplos

$\frac{9 y + 2}{3 y^{2} - 2 y - 8} + \frac{7}{3 y^{2} + y - 4}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ y cuya suma es $b = - 2$ .

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Paso 1.1.1.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 y$ .

$\frac{9 y + 2}{3 y^{2} - 2 (y) - 8} + \frac{7}{3 y^{2} + y - 4}$

Paso 1.1.1.2

Reescribe $- 2$ como $4$ más $- 6$

$\frac{9 y + 2}{3 y^{2} + (4 - 6) y - 8} + \frac{7}{3 y^{2} + y - 4}$

Paso 1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9 y + 2}{3 y^{2} + 4 y - 6 y - 8} + \frac{7}{3 y^{2} + y - 4}$

Paso 1.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{9 y + 2}{(3 y^{2} + 4 y) - 6 y - 8} + \frac{7}{3 y^{2} + y - 4}$

Paso 1.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{9 y + 2}{y (3 y + 4) - 2 (3 y + 4)} + \frac{7}{3 y^{2} + y - 4}$

Paso 1.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 y + 4$ .

$\frac{9 y + 2}{(3 y + 4) (y - 2)} + \frac{7}{3 y^{2} + y - 4}$

Paso 1.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ y cuya suma es $b = 1$ .

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Paso 1.2.1.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{9 y + 2}{(3 y + 4) (y - 2)} + \frac{7}{3 y^{2} + 1 y - 4}$

Paso 1.2.1.2

Reescribe $1$ como $- 3$ más $4$

$\frac{9 y + 2}{(3 y + 4) (y - 2)} + \frac{7}{3 y^{2} + (- 3 + 4) y - 4}$

Paso 1.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9 y + 2}{(3 y + 4) (y - 2)} + \frac{7}{3 y^{2} - 3 y + 4 y - 4}$

Paso 1.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{9 y + 2}{(3 y + 4) (y - 2)} + \frac{7}{(3 y^{2} - 3 y) + 4 y - 4}$

Paso 1.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{9 y + 2}{(3 y + 4) (y - 2)} + \frac{7}{3 y (y - 1) + 4 (y - 1)}$

Paso 1.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $y - 1$ .

$\frac{9 y + 2}{(3 y + 4) (y - 2)} + \frac{7}{(y - 1) (3 y + 4)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{9 y + 2}{(3 y + 4) (y - 2)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y - 1}{y - 1}$ .

$\frac{9 y + 2}{(3 y + 4) (y - 2)} \cdot \frac{y - 1}{y - 1} + \frac{7}{(y - 1) (3 y + 4)}$

Paso 3

Para escribir $\frac{7}{(y - 1) (3 y + 4)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y - 2}{y - 2}$ .

$\frac{9 y + 2}{(3 y + 4) (y - 2)} \cdot \frac{y - 1}{y - 1} + \frac{7}{(y - 1) (3 y + 4)} \cdot \frac{y - 2}{y - 2}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(3 y + 4) (y - 2) (y - 1)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{9 y + 2}{(3 y + 4) (y - 2)}$ por $\frac{y - 1}{y - 1}$ .

$\frac{(9 y + 2) (y - 1)}{(3 y + 4) (y - 2) (y - 1)} + \frac{7}{(y - 1) (3 y + 4)} \cdot \frac{y - 2}{y - 2}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{7}{(y - 1) (3 y + 4)}$ por $\frac{y - 2}{y - 2}$ .

$\frac{(9 y + 2) (y - 1)}{(3 y + 4) (y - 2) (y - 1)} + \frac{7 (y - 2)}{(y - 1) (3 y + 4) (y - 2)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(3 y + 4) (y - 2) (y - 1)$ .

$\frac{(9 y + 2) (y - 1)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)} + \frac{7 (y - 2)}{(y - 1) (3 y + 4) (y - 2)}$

Paso 4.4

Reordena los factores de $(y - 1) (3 y + 4) (y - 2)$ .

$\frac{(9 y + 2) (y - 1)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)} + \frac{7 (y - 2)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(9 y + 2) (y - 1) + 7 (y - 2)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Expande $(9 y + 2) (y - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9 y (y - 1) + 2 (y - 1) + 7 (y - 2)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Paso 6.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9 y \cdot y + 9 y \cdot - 1 + 2 (y - 1) + 7 (y - 2)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Paso 6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9 y \cdot y + 9 y \cdot - 1 + 2 y + 2 \cdot - 1 + 7 (y - 2)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Paso 6.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.1.1.1

Mueve $y$ .

$\frac{9 (y \cdot y) + 9 y \cdot - 1 + 2 y + 2 \cdot - 1 + 7 (y - 2)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Paso 6.2.1.1.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{9 y^{2} + 9 y \cdot - 1 + 2 y + 2 \cdot - 1 + 7 (y - 2)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$\frac{9 y^{2} - 9 y + 2 y + 2 \cdot - 1 + 7 (y - 2)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{9 y^{2} - 9 y + 2 y - 2 + 7 (y - 2)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Paso 6.2.2

Suma $- 9 y$ y $2 y$ .

$\frac{9 y^{2} - 7 y - 2 + 7 (y - 2)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9 y^{2} - 7 y - 2 + 7 y + 7 \cdot - 2}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Paso 6.4

Multiplica $7$ por $- 2$ .

$\frac{9 y^{2} - 7 y - 2 + 7 y - 14}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Paso 6.5

Suma $- 7 y$ y $7 y$ .

$\frac{9 y^{2} + 0 - 2 - 14}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Paso 6.6

Suma $9 y^{2}$ y $0$ .

$\frac{9 y^{2} - 2 - 14}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Paso 6.7

Resta $14$ de $- 2$ .

$\frac{9 y^{2} - 16}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Paso 6.8

Reescribe $9 y^{2} - 16$ en forma factorizada.

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Paso 6.8.1

Reescribe $9 y^{2}$ como ${(3 y)}^{2}$ .

$\frac{{(3 y)}^{2} - 16}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Paso 6.8.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{{(3 y)}^{2} - 4^{2}}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Paso 6.8.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3 y$ y $b = 4$ .

$\frac{(3 y + 4) (3 y - 4)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Paso 7

Cancela el factor común de $3 y + 4$ .

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Paso 7.1

Cancela el factor común.

$\frac{(3 y + 4) (3 y - 4)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Paso 7.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 y - 4}{(y - 1) (y - 2)}$