Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$ como una ecuación.

$y = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y})$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y}) = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y}) = x$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y})) = 2 x$

Paso 3.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y}))$ .

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Paso 3.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (\frac{1}{2} \cdot 5 + \frac{1}{2} (- e^{y})) = 2 x$

Paso 3.3.1.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $5$ .

$2 (\frac{5}{2} + \frac{1}{2} (- e^{y})) = 2 x$

Paso 3.3.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{y}$ .

$2 (\frac{5}{2} - \frac{e^{y}}{2}) = 2 x$

Paso 3.3.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (\frac{5}{2}) + 2 (- \frac{e^{y}}{2}) = 2 x$

Paso 3.3.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.5.1

Cancela el factor común.

$2 (\frac{5}{2}) + 2 (- \frac{e^{y}}{2}) = 2 x$

Paso 3.3.1.5.2

Reescribe la expresión.

$5 + 2 (- \frac{e^{y}}{2}) = 2 x$

Paso 3.3.1.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{e^{y}}{2}$ al numerador.

$5 + 2 \frac{- e^{y}}{2} = 2 x$

Paso 3.3.1.6.2

Cancela el factor común.

$5 + 2 \frac{- e^{y}}{2} = 2 x$

Paso 3.3.1.6.3

Reescribe la expresión.

$5 - e^{y} = 2 x$

Paso 3.4

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$- e^{y} = 2 x - 5$

Paso 3.5

Divide cada término en $- e^{y} = 2 x - 5$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.5.1

Divide cada término en $- e^{y} = 2 x - 5$ por $- 1$ .

$\frac{- e^{y}}{- 1} = \frac{2 x}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{e^{y}}{1} = \frac{2 x}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Paso 3.5.2.2

Divide $e^{y}$ por $1$ .

$e^{y} = \frac{2 x}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Paso 3.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{2 x}{- 1}$ .

$e^{y} = - 1 \cdot (2 x) + \frac{- 5}{- 1}$

Paso 3.5.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot (2 x)$ como $- (2 x)$ .

$e^{y} = - (2 x) + \frac{- 5}{- 1}$

Paso 3.5.3.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{y} = - 2 x + \frac{- 5}{- 1}$

Paso 3.5.3.1.4

Divide $- 5$ por $- 1$ .

$e^{y} = - 2 x + 5$

Paso 3.6

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{y}) = \ln (- 2 x + 5)$

Paso 3.7

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.7.1

Expande $\ln (e^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (- 2 x + 5)$

Paso 3.7.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (- 2 x + 5)$

Paso 3.7.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$y = \ln (- 2 x + 5)$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (- 2 x + 5)$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \ln (- 2 x + 5)$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x}))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) + 5)$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{1}{2} \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot (- e^{x})) + 5)$

Paso 5.2.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $5$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{5}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- e^{x})) + 5)$

Paso 5.2.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{5}{2} - \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

Paso 5.2.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{5}{2}) - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

Paso 5.2.3.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.5.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (2 (- 1) (\frac{5}{2}) - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

Paso 5.2.3.5.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (2 \cdot (- 1 (\frac{5}{2})) - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

Paso 5.2.3.5.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 1 \cdot 5 - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

Paso 5.2.3.6

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

Paso 5.2.3.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.7.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{e^{x}}{2}$ al numerador.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 - 2 \frac{- e^{x}}{2} + 5)$

Paso 5.2.3.7.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 + 2 (- 1) (\frac{- e^{x}}{2}) + 5)$

Paso 5.2.3.7.3

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 + 2 \cdot (- 1 \frac{- e^{x}}{2}) + 5)$

Paso 5.2.3.7.4

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 - 1 (- e^{x}) + 5)$

Paso 5.2.3.8

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 + 1 e^{x} + 5)$

Paso 5.2.3.9

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 + e^{x} + 5)$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $- 5 + e^{x} + 5$ .

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Paso 5.2.4.1

Suma $- 5$ y $5$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (0 + e^{x})$

Paso 5.2.4.2

Suma $0$ y $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (e^{x})$

Paso 5.2.5

Usa las reglas de logaritmos para mover $x$ fuera del exponente.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = x \ln (e)$

Paso 5.2.6

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = x \cdot 1$

Paso 5.2.7

Multiplica $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\ln (- 2 x + 5))$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{\ln (- 2 x + 5)})$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 - (- 2 x + 5))$

Paso 5.3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 - (- 2 x) - 1 \cdot 5)$

Paso 5.3.3.3

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 + 2 x - 1 \cdot 5)$

Paso 5.3.3.4

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 + 2 x - 5)$

Paso 5.3.4

Simplifica los términos.

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Paso 5.3.4.1

Combina los términos opuestos en $5 + 2 x - 5$ .

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Paso 5.3.4.1.1

Resta $5$ de $5$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x + 0)$

Paso 5.3.4.1.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Paso 5.3.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.4.2.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

Paso 5.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Paso 5.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\ln (- 2 x + 5)) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \ln (- 2 x + 5)$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (- 2 x + 5)$