Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = x^{4} - 5 x^{3} - x^{2} - 25 x - 30$

Paso 1

Establece $x^{4} - 5 x^{3} - x^{2} - 25 x - 30$ igual a $0$ .

$x^{4} - 5 x^{3} - x^{2} - 25 x - 30 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Reagrupa los términos.

$x^{4} - x^{2} - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4} - x^{2}$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - x^{2} - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

Paso 2.1.2.2

Factoriza $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

Paso 2.1.2.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$ .

$x^{2} (x^{2} - 1) - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

Paso 2.1.3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 1^{2}) - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

Paso 2.1.4

Factoriza.

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Paso 2.1.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$x^{2} ((x + 1) (x - 1)) - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

Paso 2.1.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza $5$ de $- 5 x^{3} - 25 x - 30$ .

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Paso 2.1.5.1

Factoriza $5$ de $- 5 x^{3}$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (- x^{3}) - 25 x - 30 = 0$

Paso 2.1.5.2

Factoriza $5$ de $- 25 x$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (- x^{3}) + 5 (- 5 x) - 30 = 0$

Paso 2.1.5.3

Factoriza $5$ de $- 30$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (- x^{3}) + 5 (- 5 x) + 5 (- 6) = 0$

Paso 2.1.5.4

Factoriza $5$ de $5 (- x^{3}) + 5 (- 5 x)$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (- x^{3} - 5 x) + 5 (- 6) = 0$

Paso 2.1.5.5

Factoriza $5$ de $5 (- x^{3} - 5 x) + 5 (- 6)$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (- x^{3} - 5 x - 6) = 0$

Paso 2.1.6

Factoriza.

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Paso 2.1.6.1

Factoriza $- x^{3} - 5 x - 6$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.1.6.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Paso 2.1.6.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Paso 2.1.6.1.3

Sustituye $- 1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.1.6.1.3.1

Sustituye $- 1$ en el polinomio.

$- {(- 1)}^{3} - 5 \cdot - 1 - 6$

Paso 2.1.6.1.3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- - 1 - 5 \cdot - 1 - 6$

Paso 2.1.6.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 - 5 \cdot - 1 - 6$

Paso 2.1.6.1.3.4

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$1 + 5 - 6$

Paso 2.1.6.1.3.5

Suma $1$ y $5$ .

$6 - 6$

Paso 2.1.6.1.3.6

Resta $6$ de $6$ .

$0$

Paso 2.1.6.1.4

Como $- 1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{- x^{3} - 5 x - 6}{x + 1}$

Paso 2.1.6.1.5

Divide $- x^{3} - 5 x - 6$ por $x + 1$ .

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Paso 2.1.6.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

Paso 2.1.6.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$

Paso 2.1.6.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Paso 2.1.6.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x^{3} - x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Paso 2.1.6.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Paso 2.1.6.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$

Paso 2.1.6.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$

Paso 2.1.6.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Paso 2.1.6.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} + x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Paso 2.1.6.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$

Paso 2.1.6.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$

Paso 2.1.6.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 6 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$

Paso 2.1.6.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	-	$6$

Paso 2.1.6.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 6 x - 6$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$

Paso 2.1.6.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$
										$0$

Paso 2.1.6.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$- x^{2} + x - 6$

Paso 2.1.6.1.6

Escribe $- x^{3} - 5 x - 6$ como un conjunto de factores.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 ((x + 1) (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Paso 2.1.6.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (x + 1) (- x^{2} + x - 6) = 0$

Paso 2.1.7

Factoriza $x + 1$ de $x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (x + 1) (- x^{2} + x - 6)$ .

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Paso 2.1.7.1

Factoriza $x + 1$ de $x^{2} (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + 5 (x + 1) (- x^{2} + x - 6) = 0$

Paso 2.1.7.2

Factoriza $x + 1$ de $5 (x + 1) (- x^{2} + x - 6)$ .

$(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + (x + 1) (5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Paso 2.1.7.3

Factoriza $x + 1$ de $(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + (x + 1) (5 (- x^{2} + x - 6))$ .

$(x + 1) (x^{2} (x - 1) + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Paso 2.1.8

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Paso 2.1.9

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.9.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 2.1.9.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(x + 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Paso 2.1.9.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(x + 1) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1 + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Paso 2.1.9.2

Suma $2$ y $1$ .

$(x + 1) (x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Paso 2.1.10

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{3} - 1 x^{2} + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Paso 2.1.11

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Paso 2.1.12

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} + 5 (- x^{2}) + 5 x + 5 \cdot - 6) = 0$

Paso 2.1.13

Simplifica.

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Paso 2.1.13.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} - 5 x^{2} + 5 x + 5 \cdot - 6) = 0$

Paso 2.1.13.2

Multiplica $5$ por $- 6$ .

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} - 5 x^{2} + 5 x - 30) = 0$

Paso 2.1.14

Resta $5 x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{3} - 6 x^{2} + 5 x - 30) = 0$

Paso 2.1.15

Factoriza.

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Paso 2.1.15.1

Reescribe $x^{3} - 6 x^{2} + 5 x - 30$ en forma factorizada.

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Paso 2.1.15.1.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.15.1.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x + 1) ((x^{3} - 6 x^{2}) + 5 x - 30) = 0$

Paso 2.1.15.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x + 1) (x^{2} (x - 6) + 5 (x - 6)) = 0$

Paso 2.1.15.1.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 6$ .

$(x + 1) ((x - 6) (x^{2} + 5)) = 0$

Paso 2.1.15.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 1) (x - 6) (x^{2} + 5) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 6 = 0$

$x^{2} + 5 = 0$

Paso 2.3

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 2.3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 2.4

Establece $x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 2.5

Establece $x^{2} + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x^{2} + 5$ igual a $0$ .

$x^{2} + 5 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $x^{2} + 5 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 5$

Paso 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 5}$

Paso 2.5.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 5}$ .

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Paso 2.5.2.3.1

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Paso 2.5.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (5)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Paso 2.5.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{5}$

Paso 2.5.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.5.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i \sqrt{5}$

Paso 2.5.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i \sqrt{5}$

Paso 2.5.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 1) (x - 6) (x^{2} + 5) = 0$ verdadera. La multiplicidad de una raíz es la cantidad de veces que aparece la raíz.

$x = - 1$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = 6$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = i \sqrt{5}$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = - i \sqrt{5}$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = - 1$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = 6$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = i \sqrt{5}$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = - i \sqrt{5}$ (Multiplicidad de $1$ )

Paso 3