Matemática discreta Ejemplos

$(\frac{5 + \sqrt{5}}{2}, 0)$

Paso 1

Para obtener una función exponencial, $f (x) = a^{x}$ , que contenga el punto, establece $f (x)$ en la función al valor $y$ $0$ del punto, y establece $x$ al valor $x$ $\frac{5 + \sqrt{5}}{2}$ del punto.

$0 = a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}}$

Paso 2

Resuelve la ecuación en $a$ .

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}} = 0$ .

$a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}} = 0$

Paso 2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{2}{5 + \sqrt{5}}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Paso 2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1.1

Simplifica ${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Multiplica $\frac{2}{5 + \sqrt{5}}$ por $\frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}$ .

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}} \cdot \frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Paso 2.3.1.1.2

Multiplica $\frac{2}{5 + \sqrt{5}}$ por $\frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}$ .

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{(5 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Paso 2.3.1.1.3

Expande el denominador con el método PEIU.

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{25 - 5 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 5 - {\sqrt{5}}^{2}}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Paso 2.3.1.1.4

Simplifica.

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Paso 2.3.1.1.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.1.1.5.1

Factoriza $2$ de $20$ .

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{2 \cdot 10}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Paso 2.3.1.1.5.2

Cancela el factor común.

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{2 \cdot 10}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Paso 2.3.1.1.5.3

Reescribe la expresión.

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{5 - \sqrt{5}}{10}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Paso 2.3.1.1.6

Multiplica los exponentes en ${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{5 - \sqrt{5}}{10}}$ .

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Paso 2.3.1.1.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{5 - \sqrt{5}}{10}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Paso 2.3.1.1.6.2

Multiplica $\frac{5 + \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{5 - \sqrt{5}}{10}$ .

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Paso 2.3.1.1.6.2.1

Multiplica $\frac{5 + \sqrt{5}}{2}$ por $\frac{5 - \sqrt{5}}{10}$ .

$a^{\frac{(5 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}{2 \cdot 10}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Paso 2.3.1.1.6.2.2

Multiplica $2$ por $10$ .

$a^{\frac{(5 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Paso 2.3.1.1.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.1.1.6.3.1

Expande $(5 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1.1.6.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$a^{\frac{5 (5 - \sqrt{5}) + \sqrt{5} (5 - \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Paso 2.3.1.1.6.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$a^{\frac{5 \cdot 5 + 5 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} (5 - \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Paso 2.3.1.1.6.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$a^{\frac{5 \cdot 5 + 5 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Paso 2.3.1.1.6.3.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1.1.6.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1.6.3.2.1.1

Multiplica $5$ por $5$ .

$a^{\frac{25 + 5 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Paso 2.3.1.1.6.3.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Paso 2.3.1.1.6.3.2.1.3

Mueve $5$ a la izquierda de $\sqrt{5}$ .

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Paso 2.3.1.1.6.3.2.1.4

Multiplica $\sqrt{5} (- \sqrt{5})$ .

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Paso 2.3.1.1.6.3.2.1.4.1

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Paso 2.3.1.1.6.3.2.1.4.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Paso 2.3.1.1.6.3.2.1.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{1 + 1}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Paso 2.3.1.1.6.3.2.1.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Paso 2.3.1.1.6.3.2.1.5

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 2.3.1.1.6.3.2.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Paso 2.3.1.1.6.3.2.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Paso 2.3.1.1.6.3.2.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Paso 2.3.1.1.6.3.2.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.1.6.3.2.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Paso 2.3.1.1.6.3.2.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{1}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Paso 2.3.1.1.6.3.2.1.5.5

Evalúa el exponente.

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 1 \cdot 5}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Paso 2.3.1.1.6.3.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Paso 2.3.1.1.6.3.2.2

Resta $5$ de $25$ .

$a^{\frac{20 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Paso 2.3.1.1.6.3.2.3

Suma $- 5 \sqrt{5}$ y $5 \sqrt{5}$ .

$a^{\frac{20 + 0}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Paso 2.3.1.1.6.3.2.4

Suma $20$ y $0$ .

$a^{\frac{20}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Paso 2.3.1.1.6.4

Divide $20$ por $20$ .

$a^{1} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Paso 2.3.1.1.7

Simplifica.

$a = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.1

Simplifica $0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Multiplica $\frac{2}{5 + \sqrt{5}}$ por $\frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}$ .

$a = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}} \cdot \frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}}$

Paso 2.3.2.1.2

Multiplica $\frac{2}{5 + \sqrt{5}}$ por $\frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}$ .

$a = 0^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{(5 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}}$

Paso 2.3.2.1.3

Expande el denominador con el método PEIU.

$a = 0^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{25 - 5 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 5 - {\sqrt{5}}^{2}}}$

Paso 2.3.2.1.4

Simplifica.

$a = 0^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{20}}$

Paso 2.3.2.1.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.1.5.1

Factoriza $2$ de $20$ .

$a = 0^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{2 \cdot 10}}$

Paso 2.3.2.1.5.2

Cancela el factor común.

$a = 0^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{2 \cdot 10}}$

Paso 2.3.2.1.5.3

Reescribe la expresión.

$a = 0^{\frac{5 - \sqrt{5}}{10}}$

Paso 3

Sustituye cada valor por $a$ de nuevo en la función $f (x) = a^{x}$ para obtener todas las funciones exponenciales posibles.

$f (x) = {(0^{\frac{5 - \sqrt{5}}{10}})}^{x}$