Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = - x^{2} + 2 x + 3$

Paso 1

Escribe $f (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ como una ecuación.

$y = - x^{2} + 2 x + 3$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = - y^{2} + 2 y + 3$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $- y^{2} + 2 y + 3 = x$ .

$- y^{2} + 2 y + 3 = x$

Paso 3.2

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$- y^{2} + 2 y + 3 - x = 0$

Paso 3.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.4

Sustituye los valores $a = - 1$ , $b = 2$ y $c = 3 - x$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (3 - x))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5.1.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5.1.4

Multiplica $4$ por $3$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5.1.5

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5.1.6

Suma $4$ y $12$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{16 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5.1.7

Factoriza $4$ de $16 - 4 x$ .

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Paso 3.5.1.7.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (4) - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5.1.7.2

Factoriza $4$ de $- 4 x$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (4) + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5.1.7.3

Factoriza $4$ de $4 (4) + 4 (- x)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (4 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5.1.8

Reescribe $4 (4 - x)$ como $2^{2} (2^{2} - x)$ .

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Paso 3.5.1.8.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (4 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5.1.8.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (2^{2} - x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5.1.9

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2^{2} - x}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5.1.10

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{4 - x}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{4 - x}}{- 2}$

Paso 3.5.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{4 - x}}{- 2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{4 - x}$

Paso 3.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 3.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.6.1.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.6.1.4

Multiplica $4$ por $3$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.6.1.5

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.6.1.6

Suma $4$ y $12$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{16 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.6.1.7

Factoriza $4$ de $16 - 4 x$ .

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Paso 3.6.1.7.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (4) - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.6.1.7.2

Factoriza $4$ de $- 4 x$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (4) + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.6.1.7.3

Factoriza $4$ de $4 (4) + 4 (- x)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (4 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.6.1.8

Reescribe $4 (4 - x)$ como $2^{2} (2^{2} - x)$ .

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Paso 3.6.1.8.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (4 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.6.1.8.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (2^{2} - x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.6.1.9

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2^{2} - x}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.6.1.10

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{4 - x}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{4 - x}}{- 2}$

Paso 3.6.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{4 - x}}{- 2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{4 - x}$

Paso 3.6.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = 1 + \sqrt{4 - x}$

Paso 3.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 3.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.7.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.7.1.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.7.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.7.1.4

Multiplica $4$ por $3$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.7.1.5

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.7.1.6

Suma $4$ y $12$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{16 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.7.1.7

Factoriza $4$ de $16 - 4 x$ .

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Paso 3.7.1.7.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (4) - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.7.1.7.2

Factoriza $4$ de $- 4 x$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (4) + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.7.1.7.3

Factoriza $4$ de $4 (4) + 4 (- x)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (4 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.7.1.8

Reescribe $4 (4 - x)$ como $2^{2} (2^{2} - x)$ .

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Paso 3.7.1.8.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (4 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.7.1.8.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (2^{2} - x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.7.1.9

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2^{2} - x}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.7.1.10

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{4 - x}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.7.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{4 - x}}{- 2}$

Paso 3.7.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{4 - x}}{- 2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{4 - x}$

Paso 3.7.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = 1 - \sqrt{4 - x}$

Paso 3.8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = 1 + \sqrt{4 - x}$

$y = 1 - \sqrt{4 - x}$

$y = 1 + \sqrt{4 - x}$

$y = 1 - \sqrt{4 - x}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{4 - x}, 1 - \sqrt{4 - x}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{4 - x}, 1 - \sqrt{4 - x}$ es la inversa de $f (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ .

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Paso 5.1

El dominio de la inversa es el rango de la función original y viceversa. Obtén el dominio y el rango de $f (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ y $f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{4 - x}, 1 - \sqrt{4 - x}$ y compáralos.

Paso 5.2

Obtén el rango de $f (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ .

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Paso 5.2.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 4]$

Paso 5.3

Obtén el dominio de $1 + \sqrt{4 - x}$ .

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Paso 5.3.1

Establece el radicando en $\sqrt{4 - x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$4 - x \geq 0$

Paso 5.3.2

Resuelve $x$

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Paso 5.3.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la desigualdad.

$- x \geq - 4$

Paso 5.3.2.2

Divide cada término en $- x \geq - 4$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.3.2.2.1

Divide cada término de $- x \geq - 4$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Paso 5.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Paso 5.3.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

Paso 5.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.2.3.1

Divide $- 4$ por $- 1$ .

$x \leq 4$

Paso 5.3.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 4]$

Paso 5.4

Obtén el dominio de $f (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ .

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Paso 5.4.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Paso 5.5

Como el dominio de $f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{4 - x}, 1 - \sqrt{4 - x}$ es el rango de $f (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ y el rango de $f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{4 - x}, 1 - \sqrt{4 - x}$ es el dominio de $f (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ , entonces $f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{4 - x}, 1 - \sqrt{4 - x}$ es la inversa de $f (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ .

$f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{4 - x}, 1 - \sqrt{4 - x}$

Paso 6