Matemática discreta Ejemplos

$\log_{3} (5 - x) + \log_{3} (x + 1) = \log_{3} (3 x - 1)$

Paso 1

Resta $\log_{3} (3 x - 1)$ de ambos lados de la ecuación.

$\log_{3} (5 - x) + \log_{3} (x + 1) - \log_{3} (3 x - 1) = 0$

Paso 2

Simplifica $\log_{3} (5 - x) + \log_{3} (x + 1) - \log_{3} (3 x - 1)$ .

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Paso 2.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} ((5 - x) (x + 1)) - \log_{3} (3 x - 1) = 0$

Paso 2.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{(5 - x) (x + 1)}{3 x - 1}) = 0$

Paso 3

Reescribe $\log_{3} (\frac{(5 - x) (x + 1)}{3 x - 1}) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{0} = \frac{(5 - x) (x + 1)}{3 x - 1}$

Paso 4

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$(5 - x) (x + 1) = 3^{0} (3 x - 1)$

Paso 5

Simplifica $3^{0} (3 x - 1)$ .

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Paso 5.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$(5 - x) (x + 1) = 1 (3 x - 1)$

Paso 5.2

Multiplica $3 x - 1$ por $1$ .

$(5 - x) (x + 1) = 3 x - 1$

Paso 6

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.1

Resta $3 x$ de ambos lados de la ecuación.

$(5 - x) (x + 1) - 3 x = - 1$

Paso 6.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1

Expande $(5 - x) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 (x + 1) - x (x + 1) - 3 x = - 1$

Paso 6.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x + 5 \cdot 1 - x (x + 1) - 3 x = - 1$

Paso 6.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x + 5 \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot 1 - 3 x = - 1$

Paso 6.2.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.1.1

Multiplica $5$ por $1$ .

$5 x + 5 - x \cdot x - x \cdot 1 - 3 x = - 1$

Paso 6.2.2.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.2.1.2.1

Mueve $x$ .

$5 x + 5 - (x \cdot x) - x \cdot 1 - 3 x = - 1$

Paso 6.2.2.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$5 x + 5 - x^{2} - x \cdot 1 - 3 x = - 1$

Paso 6.2.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$5 x + 5 - x^{2} - x - 3 x = - 1$

Paso 6.2.2.2

Resta $x$ de $5 x$ .

$4 x + 5 - x^{2} - 3 x = - 1$

Paso 6.3

Resta $3 x$ de $4 x$ .

$x + 5 - x^{2} = - 1$

Paso 7

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x - x^{2} = - 1 - 5$

Paso 7.2

Resta $5$ de $- 1$ .

$x - x^{2} = - 6$

Paso 8

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x - x^{2} + 6 = 0$

Paso 9

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 9.1

Factoriza $- 1$ de $x - x^{2} + 6$ .

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Paso 9.1.1

Reordena $x$ y $- x^{2}$ .

$- x^{2} + x + 6 = 0$

Paso 9.1.2

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + x + 6 = 0$

Paso 9.1.3

Factoriza $- 1$ de $x$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 6 = 0$

Paso 9.1.4

Reescribe $6$ como $- 1 (- 6)$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 6 = 0$

Paso 9.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (- x)$ .

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 6 = 0$

Paso 9.1.6

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} - x) - 1 (- 6)$ .

$- (x^{2} - x - 6) = 0$

Paso 9.2

Factoriza.

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Paso 9.2.1

Factoriza $x^{2} - x - 6$ con el método AC.

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Paso 9.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 3, 2$

Paso 9.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- ((x - 3) (x + 2)) = 0$

Paso 9.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (x - 3) (x + 2) = 0$

Paso 10

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 11

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 11.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 12

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 12.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 12.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 13

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (x - 3) (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = 3, - 2$