Cálculo Ejemplos

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} [(- \sec (x)) - (- 2)] d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} (- \sec (x)) - (- 2) d x$

Paso 2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec (x) + 2 d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec (x) d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 2 d x$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sec (x) d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 2 d x$

Paso 5

La integral de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 2 d x$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) + 2 x]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1.1

Evalúa $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ en $\frac{π}{3}$ y en $- \frac{π}{3}$ .

$- ((\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |)) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + 2 x]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}$

Paso 7.1.2

Evalúa $2 x$ en $\frac{π}{3}$ y en $- \frac{π}{3}$ .

$- ((\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |)) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + (2 \frac{π}{3}) - 2 (- \frac{π}{3})$

Paso 7.1.3

Simplifica.

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Paso 7.1.3.1

Combina $2$ y $\frac{π}{3}$ .

$- (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{2 π}{3} - 2 (- \frac{π}{3})$

Paso 7.1.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$- (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{2 π}{3} + 2 \frac{π}{3}$

Paso 7.1.3.3

Combina $2$ y $\frac{π}{3}$ .

$- (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{2 π}{3} + \frac{2 π}{3}$

Paso 7.1.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{2 π + 2 π}{3}$

Paso 7.1.3.5

Suma $2 π$ y $2 π$ .

$- (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{4 π}{3}$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{3})$ es $2$ .

$- (\ln (| 2 + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{4 π}{3}$

Paso 7.2.2

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{3})$ es $\sqrt{3}$ .

$- (\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{4 π}{3}$

Paso 7.2.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| 2 + \sqrt{3} |}{| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

$2 + \sqrt{3}$ es aproximadamente $3.7320508$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

Paso 7.3.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.3.2.1

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| \sec (\frac{5 π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

Paso 7.3.2.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

Paso 7.3.2.3

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{3})$ es $2$ .

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| 2 + \tan (- \frac{π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

Paso 7.3.2.4

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| 2 + \tan (\frac{5 π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

Paso 7.3.2.5

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque la tangente es negativa en el cuarto cuadrante.

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| 2 - \tan (\frac{π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

Paso 7.3.2.6

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{3})$ es $\sqrt{3}$ .

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| 2 - \sqrt{3} |}) + \frac{4 π}{3}$

Paso 7.3.2.7

$2 - \sqrt{3}$ es aproximadamente $0.26794919$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}) + \frac{4 π}{3}$

Paso 7.3.3

Para escribir $- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{4 π}{3}$

Paso 7.3.4

Combina $- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}})$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}) \cdot 3}{3} + \frac{4 π}{3}$

Paso 7.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}) \cdot 3 + 4 π}{3}$

Paso 7.3.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{- 3 \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}) + 4 π}{3}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{- 3 \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}) + 4 π}{3}$

Forma decimal:

$1.55487441 \dots$