Cálculo Ejemplos

$\arcsin (x) = \ln (y)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\arcsin (x)) = \frac{d}{d x} (\ln (y))$

Paso 2

La derivada de $\arcsin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{y} y'$

Paso 3.3

Combina $\frac{1}{y}$ y $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \frac{y'}{y}$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{y'}{y} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Paso 5.2

Multiplica ambos lados por $y$ .

$\frac{y'}{y} y = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} y$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.1.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y'}{y} y = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} y$

Paso 5.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} y$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} y$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.2.1.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y' = \frac{1}{\sqrt{1^{2} - x^{2}}} y$

Paso 5.3.2.1.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$y' = \frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} y$

Paso 5.3.2.1.2

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ por $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$y' = \frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} y$

Paso 5.3.2.1.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.3.2.1.3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ por $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}} y$

Paso 5.3.2.1.3.2

Eleva $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ a la potencia de $1$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}} y$

Paso 5.3.2.1.3.3

Eleva $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ a la potencia de $1$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}} y$

Paso 5.3.2.1.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}} y$

Paso 5.3.2.1.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}} y$

Paso 5.3.2.1.3.6

Reescribe ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ como $(1 + x) (1 - x)$ .

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Paso 5.3.2.1.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ como ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} y$

Paso 5.3.2.1.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} y$

Paso 5.3.2.1.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}} y$

Paso 5.3.2.1.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.1.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}} y$

Paso 5.3.2.1.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{1}} y$

Paso 5.3.2.1.3.6.5

Simplifica.

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)} y$

Paso 5.3.2.1.4

Combina $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$ y $y$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} y}{(1 + x) (1 - x)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} y}{(1 + x) (1 - x)}$