Cálculo Ejemplos

$y = {\cos (x)}^{x}$

Paso 1

Sea $y = f (x)$ , calcula el logaritmo natural de ambos lados $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln ({\cos (x)}^{x})$

Paso 2

Expande $\ln ({\cos (x)}^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$\ln (y) = x \ln (\cos (x))$

Paso 3

Diferencia la expresión mediante la regla de la cadena, teniendo en cuenta que $y$ es una función de $x$ .

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Paso 3.1

Diferencia el lado izquierdo $\ln (y)$ mediante la regla de la cadena.

$\frac{y'}{y} = x \ln (\cos (x))$

Paso 3.2

Diferencia el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Diferencia $x \ln (\cos (x))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (x))]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (\cos (x))$ .

$\frac{y'}{y} = x \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))] + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \cos (x)$ .

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Paso 3.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\cos (x)$ .

$\frac{y'}{y} = x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{y'}{y} = x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$\frac{y'}{y} = x (\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.4

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.5

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (x) (- \sin (x))) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.6

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.2.6.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (x) (- \sin (x))) + \ln (\cos (x)) \cdot 1$

Paso 3.2.6.2

Multiplica $\ln (\cos (x))$ por $1$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (x) (- \sin (x))) + \ln (\cos (x))$

Paso 3.2.7

Simplifica.

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Paso 3.2.7.1

Reordena los términos.

$\frac{y'}{y} = - x \sec (x) \sin (x) + \ln (\cos (x))$

Paso 3.2.7.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.7.2.1

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{y'}{y} = - x \frac{1}{\cos (x)} \sin (x) + \ln (\cos (x))$

Paso 3.2.7.2.2

Combina $\frac{1}{\cos (x)}$ y $x$ .

$\frac{y'}{y} = - \frac{x}{\cos (x)} \sin (x) + \ln (\cos (x))$

Paso 3.2.7.2.3

Combina $\sin (x)$ y $\frac{x}{\cos (x)}$ .

$\frac{y'}{y} = - \frac{\sin (x) x}{\cos (x)} + \ln (\cos (x))$

Paso 3.2.7.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.7.3.1

Separa las fracciones.

$\frac{y'}{y} = - (\frac{x}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \ln (\cos (x))$

Paso 3.2.7.3.2

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{y'}{y} = - (\frac{x}{1} \tan (x)) + \ln (\cos (x))$

Paso 3.2.7.3.3

Divide $x$ por $1$ .

$\frac{y'}{y} = - x \tan (x) + \ln (\cos (x))$

Paso 4

Aísla $y'$ y sustituye la función original de $y$ en el lado derecho.

$y' = (- x \tan (x) + \ln (\cos (x))) {\cos (x)}^{x}$

Paso 5

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$y' = (- x \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \ln (\cos (x))) {\cos (x)}^{x}$

Paso 5.1.2

Combina $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ y $x$ .

$y' = (- \frac{\sin (x) x}{\cos (x)} + \ln (\cos (x))) {\cos (x)}^{x}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y' = - \frac{\sin (x) x}{\cos (x)} {\cos (x)}^{x} + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

Paso 5.3

Combina ${\cos (x)}^{x}$ y $\frac{\sin (x) x}{\cos (x)}$ .

$y' = - \frac{{\cos (x)}^{x} (\sin (x) x)}{\cos (x)} + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

Paso 5.4

Cancela el factor común de ${\cos (x)}^{x}$ y $\cos (x)$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $\cos (x)$ de ${\cos (x)}^{x} (\sin (x) x)$ .

$y' = - \frac{\cos (x) ({\cos (x)}^{x - 1} (\sin (x) x))}{\cos (x)} + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

Paso 5.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.2.1

Multiplica por $1$ .

$y' = - \frac{\cos (x) ({\cos (x)}^{x - 1} (\sin (x) x))}{\cos (x) \cdot 1} + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{\cos (x) ({\cos (x)}^{x - 1} (\sin (x) x))}{\cos (x) \cdot 1} + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

Paso 5.4.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{{\cos (x)}^{x - 1} (\sin (x) x)}{1} + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

Paso 5.4.2.4

Divide ${\cos (x)}^{x - 1} (\sin (x) x)$ por $1$ .

$y' = - ({\cos (x)}^{x - 1} (\sin (x) x)) + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

$y' = - {\cos (x)}^{x - 1} \sin (x) x + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

Paso 5.5

Reordena los factores en $- {\cos (x)}^{x - 1} \sin (x) x + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$ .

$y' = - x {\cos (x)}^{x - 1} \sin (x) + {\cos (x)}^{x} \ln (\cos (x))$