Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 x^{2} + 6 x}{\sqrt{16 x^{4} - 5 x^{2}}}$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Factoriza $x^{2}$ de $16 x^{4} - 5 x^{2}$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $16 x^{4}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 x^{2} + 6 x}{\sqrt{x^{2} (16 x^{2}) - 5 x^{2}}}$

Paso 1.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 5 x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 x^{2} + 6 x}{\sqrt{x^{2} (16 x^{2}) + x^{2} \cdot - 5}}$

Paso 1.1.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (16 x^{2}) + x^{2} \cdot - 5$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 x^{2} + 6 x}{\sqrt{x^{2} (16 x^{2} - 5)}}$

Paso 1.2

Reescribe $16 x^{2}$ como ${(4 x)}^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 x^{2} + 6 x}{\sqrt{x^{2} ({(4 x)}^{2} - 5)}}$

Paso 1.3

Retira los términos de abajo del radical.

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 x^{2} + 6 x}{x \sqrt{{(4 x)}^{2} - 5}}$

Paso 1.4

Aplica la regla del producto a $4 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 x^{2} + 6 x}{x \sqrt{4^{2} x^{2} - 5}}$

Paso 1.5

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 x^{2} + 6 x}{x \sqrt{16 x^{2} - 5}}$

Paso 2

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}{\frac{x \sqrt{16 x^{2} - 5}}{x^{2}}}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.1.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}{\frac{x \sqrt{16 x^{2} - 5}}{x^{2}}}$

Paso 3.1.1.2

Divide $5$ por $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 + \frac{6 x}{x^{2}}}{\frac{x \sqrt{16 x^{2} - 5}}{x^{2}}}$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 3.1.2.1

Factoriza $x$ de $6 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 + \frac{x \cdot 6}{x^{2}}}{\frac{x \sqrt{16 x^{2} - 5}}{x^{2}}}$

Paso 3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 + \frac{x \cdot 6}{x \cdot x}}{\frac{x \sqrt{16 x^{2} - 5}}{x^{2}}}$

Paso 3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 + \frac{x \cdot 6}{x \cdot x}}{\frac{x \sqrt{16 x^{2} - 5}}{x^{2}}}$

Paso 3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 + \frac{6}{x}}{\frac{x \sqrt{16 x^{2} - 5}}{x^{2}}}$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 + \frac{6}{x}}{\frac{\sqrt{16 x^{2} - 5}}{x}}$

Paso 3.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 5 + \frac{6}{x}}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{16 x^{2} - 5}}{x}}$

Paso 3.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 5 + lim_{x \to - \infty} \frac{6}{x}}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{16 x^{2} - 5}}{x}}$

Paso 3.5

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{5 + lim_{x \to - \infty} \frac{6}{x}}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{16 x^{2} - 5}}{x}}$

Paso 3.6

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5 + 6 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{16 x^{2} - 5}}{x}}$

Paso 4

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{5 + 6 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{16 x^{2} - 5}}{x}}$

Paso 5

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $- \sqrt{x^{2}} = x$ .

$\frac{5 + 6 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{16 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}}{\frac{x}{x}}}$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $x$ .

$\frac{5 + 6 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{16 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}}{1}}$

Paso 6.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 + 6 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{16 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}}{1}}$

Paso 6.2.1.2

Divide $16$ por $1$ .

$\frac{5 + 6 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{16 + \frac{- 5}{x^{2}}}}{1}}$

Paso 6.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{5 + 6 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{16 - \frac{5}{x^{2}}}}{1}}$

Paso 6.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{5 + 6 \cdot 0}{\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{16 - \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Paso 6.4

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5 + 6 \cdot 0}{\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{16 - \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Paso 6.5

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{5 + 6 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 16 - \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Paso 6.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{5 + 6 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 16 - lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Paso 6.7

Evalúa el límite de $16$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{5 + 6 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{16 - lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Paso 6.8

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5 + 6 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{16 - 5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Paso 7

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{5 + 6 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{16 - 5 \cdot 0}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Paso 8

Evalúa el límite.

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Paso 8.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{5 + 6 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{16 - 5 \cdot 0}}{1}}$

Paso 8.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.2.1

Divide $- \sqrt{16 - 5 \cdot 0}$ por $1$ .

$\frac{5 + 6 \cdot 0}{- \sqrt{16 - 5 \cdot 0}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.2.1

Multiplica $6$ por $0$ .

$\frac{5 + 0}{- \sqrt{16 - 5 \cdot 0}}$

Paso 8.2.2.2

Suma $5$ y $0$ .

$\frac{5}{- \sqrt{16 - 5 \cdot 0}}$

Paso 8.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.3.1

Multiplica $- 5$ por $0$ .

$\frac{5}{- \sqrt{16 + 0}}$

Paso 8.2.3.2

Suma $16$ y $0$ .

$\frac{5}{- \sqrt{16}}$

Paso 8.2.3.3

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{5}{- \sqrt{4^{2}}}$

Paso 8.2.3.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{5}{- 1 \cdot 4}$

Paso 8.2.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{5}{- 4}$

Paso 8.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5}{4}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{5}{4}$

Forma decimal:

$- 1.25$