Cálculo Ejemplos

$y = x^{2} \sqrt{36 - x^{2}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{36 - x^{2}}$ como ${(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 36 - x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $36 - x^{2}$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [36 - x^{2}]) + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [36 - x^{2}]) + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $36 - x^{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [36 - x^{2}]) + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [36 - x^{2}]) + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [36 - x^{2}]) + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{2} (\frac{1}{2} {(36 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [36 - x^{2}]) + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 7

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(36 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [36 - x^{2}]) + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(36 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [36 - x^{2}]) + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 8

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} (\frac{1}{2} {(36 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [36 - x^{2}]) + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(36 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{2} (\frac{{(36 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [36 - x^{2}]) + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 8.3

Mueve ${(36 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2 {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [36 - x^{2}]) + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 8.4

Combina $\frac{1}{2 {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [36 - x^{2}] + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 9

Según la regla de la suma, la derivada de $36 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 10

Como $36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $36$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 11

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 12

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 14

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 14.2

Combina $- 2$ y $\frac{x^{2}}{2 {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{2 {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 14.3

Combina $\frac{- 2 x^{2}}{2 {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{- 2 x^{2} x}{2 {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 15

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{2})}{2 {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 16

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 2 x^{1 + 2}}{2 {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 17

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{- 2 x^{3}}{2 {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 18

Factoriza $2$ de $- 2 x^{3}$ .

$\frac{2 (- x^{3})}{2 {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 19

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.1

Factoriza $2$ de $2 {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x^{3})}{2 ({(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 19.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- x^{3})}{2 {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 19.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- x^{3}}{{(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 20

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x^{3}}{{(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 21

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{x^{3}}{{(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 x)$

Paso 22

Reordena.

Toca para ver más pasos...

Paso 22.1

Mueve $2$ a la izquierda de ${(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{x^{3}}{{(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x$

Paso 22.2

Mueve ${(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{x^{3}}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 23

Para escribir $2 x {(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x^{3}}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 25

Multiplica ${(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 25.1

Mueve ${(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- x^{3} + 2 x ({(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}})}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 25.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 25.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 36)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 25.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 36)}^{\frac{2}{2}}}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 25.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 36)}^{1}}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 26

Simplifica $2 x {(- x^{2} + 36)}^{1}$ .

$\frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2} + 36)}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 27

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 27.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 36}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 27.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 27.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 27.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 36}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 27.2.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 27.2.1.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x) + 2 x \cdot 36}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 27.2.1.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 27.2.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 36}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 27.2.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 36}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 27.2.1.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 x^{3} + 2 x \cdot 36}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 27.2.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{3} - 2 x^{3} + 2 x \cdot 36}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 27.2.1.4

Multiplica $36$ por $2$ .

$\frac{- x^{3} - 2 x^{3} + 72 x}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 27.2.2

Resta $2 x^{3}$ de $- x^{3}$ .

$\frac{- 3 x^{3} + 72 x}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 27.3

Factoriza $3 x$ de $- 3 x^{3} + 72 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 27.3.1

Factoriza $3 x$ de $- 3 x^{3}$ .

$\frac{3 x (- x^{2}) + 72 x}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 27.3.2

Factoriza $3 x$ de $72 x$ .

$\frac{3 x (- x^{2}) + 3 x (24)}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 27.3.3

Factoriza $3 x$ de $3 x (- x^{2}) + 3 x (24)$ .

$\frac{3 x (- x^{2} + 24)}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 27.4

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{3 x (- (x^{2}) + 24)}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 27.5

Reescribe $24$ como $- 1 (- 24)$ .

$\frac{3 x (- (x^{2}) - 1 (- 24))}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 27.6

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (- 24)$ .

$\frac{3 x (- (x^{2} - 24))}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 27.7

Reescribe $- (x^{2} - 24)$ como $- 1 (x^{2} - 24)$ .

$\frac{3 x (- 1 (x^{2} - 24))}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 27.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(3 x) (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$