Cálculo Ejemplos

$y = e^{\sqrt{x}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = e^{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 3

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 4.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 4.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 4.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 4.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 4.8

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 4.9

Combina $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 4.10

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$