Cálculo Ejemplos

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \tan^{2} (θ) (1 - \sin (θ))$

Paso 1

Reescribe $\tan^{2} (θ) (1 - \sin (θ))$ como $\frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)}$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)}$

Paso 2

Establece el límite como un límite izquierdo.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)}$

Paso 3

Evalúa el límite izquierdo.

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Paso 3.1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} 1 - \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Paso 3.1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 3.1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 3.1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $θ$ se aproxima a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} 1 - lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Paso 3.1.1.2.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $θ$ se acerca a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1 - lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Paso 3.1.1.2.1.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{1 - \sin (lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Paso 3.1.1.2.2

Evalúa el límite de $θ$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $θ$ .

$\frac{1 - \sin (\frac{π}{2})}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Paso 3.1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1.2.3.1.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Paso 3.1.1.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Paso 3.1.1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Paso 3.1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 3.1.1.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\tan^{2} (θ)}}$

Paso 3.1.1.3.2

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{\tan^{2} (θ)}$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 3.1.1.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 3.1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 3.1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)} = lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Paso 3.1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Paso 3.1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \sin (θ)$ con respecto a $θ$ es $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Paso 3.1.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $1$ con respecto a $θ$ es $0$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{0 + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Paso 3.1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ .

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Paso 3.1.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $- \sin (θ)$ con respecto a $θ$ es $- \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{0 - \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Paso 3.1.3.4.2

La derivada de $\sin (θ)$ con respecto a $θ$ es $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{0 - \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Paso 3.1.3.5

Resta $\cos (θ)$ de $0$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Paso 3.1.3.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ es $f' (g (θ)) g' (θ)$ donde $f (θ) = θ^{- 2}$ y $g (θ) = \tan (θ)$ .

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Paso 3.1.3.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\tan (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

Paso 3.1.3.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

Paso 3.1.3.6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\tan (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \tan^{- 3} (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

Paso 3.1.3.7

La derivada de $\tan (θ)$ con respecto a $θ$ es $\sec^{2} (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \tan^{- 3} (θ) \sec^{2} (θ)}$

Paso 3.1.3.8

Simplifica.

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Paso 3.1.3.8.1

Reordena los factores de $- 2 \tan^{- 3} (θ) \sec^{2} (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \sec^{2} (θ) \tan^{- 3} (θ)}$

Paso 3.1.3.8.2

Reescribe $\sec (θ)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 {(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2} \tan^{- 3} (θ)}$

Paso 3.1.3.8.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Paso 3.1.3.8.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{1}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Paso 3.1.3.8.5

Combina $- 2$ y $\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Paso 3.1.3.8.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Paso 3.1.3.8.7

Reescribe $\tan (θ)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} {(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{- 3}}$

Paso 3.1.3.8.8

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} {(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{3}}$

Paso 3.1.3.8.9

Aplica la regla del producto a $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{3} (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Paso 3.1.3.8.10

Cancela el factor común de $\cos^{2} (θ)$ .

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Paso 3.1.3.8.10.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{\cos^{2} (θ)}$ al numerador.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{3} (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Paso 3.1.3.8.10.2

Factoriza $\cos^{2} (θ)$ de $\cos^{3} (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{2} (θ) \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Paso 3.1.3.8.10.3

Cancela el factor común.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{2} (θ) \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Paso 3.1.3.8.10.4

Reescribe la expresión.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{\cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Paso 3.1.3.8.11

Combina $- 2$ y $\frac{\cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2 \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Paso 3.1.3.8.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2 \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Paso 3.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} - \cos (θ) (- \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)})$

Paso 3.1.5

Combina factores.

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Paso 3.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} 1 \cos (θ) \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Paso 3.1.5.2

Multiplica $\cos (θ)$ por $1$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \cos (θ) \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Paso 3.1.5.3

Combina $\cos (θ)$ y $\frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (θ) \sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Paso 3.1.6

Cancela el factor común de $\cos (θ)$ .

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Paso 3.1.6.1

Cancela el factor común.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (θ) \sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Paso 3.1.6.2

Reescribe la expresión.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\sin^{3} (θ)}{2}$

Paso 3.2

Evalúa el límite.

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Paso 3.2.1

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $θ$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sin^{3} (θ)$

Paso 3.2.2

Mueve el exponente $3$ de $\sin^{3} (θ)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{2} {(lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sin (θ))}^{3}$

Paso 3.2.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{1}{2} \sin^{3} (lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} θ)$

Paso 3.3

Evalúa el límite de $θ$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $θ$ .

$\frac{1}{2} \sin^{3} (\frac{π}{2})$

Paso 3.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.4.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{3}$

Paso 3.4.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 3.4.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 4

Establece el límite como un límite derecho.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)}$

Paso 5

Evalúa el límite derecho.

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Paso 5.1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 5.1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} 1 - \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Paso 5.1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 5.1.1.2.1

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $θ$ se aproxima a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} 1 - lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Paso 5.1.1.2.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $θ$ se acerca a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1 - lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Paso 5.1.1.2.1.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{1 - \sin (lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Paso 5.1.1.2.2

Evalúa el límite de $θ$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $θ$ .

$\frac{1 - \sin (\frac{π}{2})}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Paso 5.1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1.2.3.1.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Paso 5.1.1.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Paso 5.1.1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Paso 5.1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{1}{\tan^{2} (θ)}}$

Paso 5.1.1.3.2

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{\tan^{2} (θ)}$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 5.1.1.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 5.1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 5.1.2

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)} = lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Paso 5.1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 5.1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Paso 5.1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \sin (θ)$ con respecto a $θ$ es $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Paso 5.1.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $1$ con respecto a $θ$ es $0$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{0 + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Paso 5.1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $- \sin (θ)$ con respecto a $θ$ es $- \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{0 - \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Paso 5.1.3.4.2

La derivada de $\sin (θ)$ con respecto a $θ$ es $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{0 - \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Paso 5.1.3.5

Resta $\cos (θ)$ de $0$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Paso 5.1.3.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ es $f' (g (θ)) g' (θ)$ donde $f (θ) = θ^{- 2}$ y $g (θ) = \tan (θ)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.3.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\tan (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

Paso 5.1.3.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

Paso 5.1.3.6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\tan (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \tan^{- 3} (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

Paso 5.1.3.7

La derivada de $\tan (θ)$ con respecto a $θ$ es $\sec^{2} (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \tan^{- 3} (θ) \sec^{2} (θ)}$

Paso 5.1.3.8

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.3.8.1

Reordena los factores de $- 2 \tan^{- 3} (θ) \sec^{2} (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \sec^{2} (θ) \tan^{- 3} (θ)}$

Paso 5.1.3.8.2

Reescribe $\sec (θ)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 {(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2} \tan^{- 3} (θ)}$

Paso 5.1.3.8.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Paso 5.1.3.8.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{1}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Paso 5.1.3.8.5

Combina $- 2$ y $\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Paso 5.1.3.8.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Paso 5.1.3.8.7

Reescribe $\tan (θ)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} {(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{- 3}}$

Paso 5.1.3.8.8

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} {(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{3}}$

Paso 5.1.3.8.9

Aplica la regla del producto a $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{3} (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Paso 5.1.3.8.10

Cancela el factor común de $\cos^{2} (θ)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.3.8.10.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{\cos^{2} (θ)}$ al numerador.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{3} (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Paso 5.1.3.8.10.2

Factoriza $\cos^{2} (θ)$ de $\cos^{3} (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{2} (θ) \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Paso 5.1.3.8.10.3

Cancela el factor común.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{2} (θ) \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Paso 5.1.3.8.10.4

Reescribe la expresión.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{\cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Paso 5.1.3.8.11

Combina $- 2$ y $\frac{\cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2 \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Paso 5.1.3.8.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2 \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Paso 5.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} - \cos (θ) (- \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)})$

Paso 5.1.5

Combina factores.

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Paso 5.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} 1 \cos (θ) \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Paso 5.1.5.2

Multiplica $\cos (θ)$ por $1$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \cos (θ) \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Paso 5.1.5.3

Combina $\cos (θ)$ y $\frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\cos (θ) \sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Paso 5.1.6

Cancela el factor común de $\cos (θ)$ .

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Paso 5.1.6.1

Cancela el factor común.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\cos (θ) \sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Paso 5.1.6.2

Reescribe la expresión.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\sin^{3} (θ)}{2}$

Paso 5.2

Evalúa el límite.

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Paso 5.2.1

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $θ$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sin^{3} (θ)$

Paso 5.2.2

Mueve el exponente $3$ de $\sin^{3} (θ)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{2} {(lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sin (θ))}^{3}$

Paso 5.2.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{1}{2} \sin^{3} (lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} θ)$

Paso 5.3

Evalúa el límite de $θ$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $θ$ .

$\frac{1}{2} \sin^{3} (\frac{π}{2})$

Paso 5.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.4.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{3}$

Paso 5.4.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 5.4.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 6

Como el límite izquierdo es igual al límite derecho, el límite es igual a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$