Cálculo Ejemplos

$x + \tan (x y) = 0$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x + \tan (x y)) = \frac{d}{d x} (0)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + \tan (x y)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x y)]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\tan (x y)]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\tan (x y)]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = x y$ .

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Paso 2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x y$ .

$1 + \frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.2.1.2

La derivada de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\sec^{2} (u)$ .

$1 + \sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x y$ .

$1 + \sec^{2} (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$1 + \sec^{2} (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$1 + \sec^{2} (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \sec^{2} (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Paso 2.2.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$1 + \sec^{2} (x y) (x y' + y)$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 + \sec^{2} (x y) (x y') + \sec^{2} (x y) y$

Paso 2.3.2

Reordena los términos.

$x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y) + 1$

Paso 3

Como $0$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y) + 1 = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Reordena los factores en $x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y) + 1$ .

$x y' \sec^{2} (x y) + y \sec^{2} (x y) + 1 = 0$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Resta $y \sec^{2} (x y)$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' \sec^{2} (x y) + 1 = - y \sec^{2} (x y)$

Paso 5.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' \sec^{2} (x y) = - y \sec^{2} (x y) - 1$

Paso 5.3

Divide cada término en $x y' \sec^{2} (x y) = - y \sec^{2} (x y) - 1$ por $x \sec^{2} (x y)$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $x y' \sec^{2} (x y) = - y \sec^{2} (x y) - 1$ por $x \sec^{2} (x y)$ .

$\frac{x y' \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} = \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (x y)}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y' \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} = \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (x y)}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' \sec^{2} (x y)}{\sec^{2} (x y)} = \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (x y)}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $\sec^{2} (x y)$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' \sec^{2} (x y)}{\sec^{2} (x y)} = \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (x y)}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (x y)}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Cancela el factor común de $\sec^{2} (x y)$ .

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Paso 5.3.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (x y)}$

Paso 5.3.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- y}{x} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (x y)}$

Paso 5.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (x y)}$

Paso 5.3.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y}{x} - \frac{1}{x \sec^{2} (x y)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} - \frac{1}{x \sec^{2} (x y)}$