Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{8} - 5 x^{3}}}{3 x^{4} + 4}$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Factoriza $x^{3}$ de $x^{8} - 5 x^{3}$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $x^{3}$ de $x^{8}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{3} x^{5} - 5 x^{3}}}{3 x^{4} + 4}$

Paso 1.1.2

Factoriza $x^{3}$ de $- 5 x^{3}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{3} x^{5} + x^{3} \cdot - 5}}{3 x^{4} + 4}$

Paso 1.1.3

Factoriza $x^{3}$ de $x^{3} x^{5} + x^{3} \cdot - 5$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{3} (x^{5} - 5)}}{3 x^{4} + 4}$

Paso 1.2

Reescribe $x^{3} (x^{5} - 5)$ como $x^{2} (x (x^{5} - 5))$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} x (x^{5} - 5)}}{3 x^{4} + 4}$

Paso 1.2.2

Agrega paréntesis.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} (x (x^{5} - 5))}}{3 x^{4} + 4}$

Paso 1.3

Retira los términos de abajo del radical.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x \sqrt{x (x^{5} - 5)}}{3 x^{4} + 4}$

Paso 2

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{4}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \sqrt{x (x^{5} - 5)}}{x^{4}}}{\frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{4}{x^{4}}}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x$ y $x^{4}$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $x$ de $x \sqrt{x (x^{5} - 5)}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x (\sqrt{x (x^{5} - 5)})}{x^{4}}}{\frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{4}{x^{4}}}$

Paso 3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x (\sqrt{x (x^{5} - 5)})}{x \cdot x^{3}}}{\frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{4}{x^{4}}}$

Paso 3.1.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \sqrt{x (x^{5} - 5)}}{x \cdot x^{3}}}{\frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{4}{x^{4}}}$

Paso 3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{x (x^{5} - 5)}}{x^{3}}}{\frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{4}{x^{4}}}$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $x^{4}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{x (x^{5} - 5)}}{x^{3}}}{3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{x \cdot x^{5} + x \cdot - 5}}{x^{3}}}{3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Paso 4

Multiplica $x$ por $x^{5}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1

Multiplica $x$ por $x^{5}$ .

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Paso 4.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{x^{1} x^{5} + x \cdot - 5}}{x^{3}}}{3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Paso 4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{x^{1 + 5} + x \cdot - 5}}{x^{3}}}{3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Paso 4.2

Suma $1$ y $5$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{x^{6} + x \cdot - 5}}{x^{3}}}{3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Mueve $- 5$ a la izquierda de $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{x^{6} - 5 x}}{x^{3}}}{3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Paso 5.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{6} - 5 x}}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Paso 5.3

Factoriza $x$ de $x^{6} - 5 x$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $x$ de $x^{6}$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x \cdot x^{5} - 5 x}}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Paso 5.3.2

Factoriza $x$ de $- 5 x$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x \cdot x^{5} + x \cdot - 5}}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Paso 5.3.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{5} + x \cdot - 5$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (x^{5} - 5)}}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Paso 6

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $- \sqrt{x^{6}} = x^{3}$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (x^{5} - 5)}{x^{6}}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Paso 7

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (x^{5} - 5)}{x^{6}}}}{1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Paso 8

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.1

Factoriza $x$ de $x^{6}$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (x^{5} - 5)}{x \cdot x^{5}}}}{1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Paso 8.2

Cancela el factor común.

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (x^{5} - 5)}{x \cdot x^{5}}}}{1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Paso 8.3

Reescribe la expresión.

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x^{5} - 5}{x^{5}}}}{1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Paso 9

Evalúa el límite.

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Paso 9.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x^{5} - 5}{x^{5}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Paso 9.2

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{x^{5} - 5}{x^{5}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Paso 9.3

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} - 5}{x^{5}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Paso 10

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{5}$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{5}}{x^{5}} + \frac{- 5}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Paso 11

Evalúa el límite.

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Paso 11.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.1.1

Cancela el factor común de $x^{5}$ .

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Paso 11.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{5}}{x^{5}} + \frac{- 5}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Paso 11.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{- 5}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Paso 11.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{5}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Paso 11.2

Cancela el factor común de $x^{5}$ .

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Paso 11.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{5}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Paso 11.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{5}{x^{5}}}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Paso 11.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{5}{x^{5}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Paso 11.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 1 - lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{5}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Paso 11.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{1 - lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{5}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Paso 11.6

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{1 - 5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{5}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Paso 12

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{5}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Paso 13

Evalúa el límite.

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Paso 13.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Paso 13.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{1}}}{1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Paso 13.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{1}}}{1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x^{4}}}$

Paso 13.4

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{1}}}{1}}{3 + lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x^{4}}}$

Paso 13.5

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{1}}}{1}}{3 + 4 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{4}}}$

Paso 14

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{4}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{1}}}{1}}{3 + 4 \cdot 0}$

Paso 15

Simplifica la respuesta.

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Paso 15.1

Divide $1 - 5 \cdot 0$ por $1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{1 - 5 \cdot 0}}{1}}{3 + 4 \cdot 0}$

Paso 15.2

Divide $- \sqrt{1 - 5 \cdot 0}$ por $1$ .

$\frac{- \sqrt{1 - 5 \cdot 0}}{3 + 4 \cdot 0}$

Paso 15.3

Simplifica el numerador.

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Paso 15.3.1

Multiplica $- 5$ por $0$ .

$\frac{- \sqrt{1 + 0}}{3 + 4 \cdot 0}$

Paso 15.3.2

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{- \sqrt{1}}{3 + 4 \cdot 0}$

Paso 15.3.3

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{3 + 4 \cdot 0}$

Paso 15.4

Simplifica el denominador.

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Paso 15.4.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{3 + 0}$

Paso 15.4.2

Suma $3$ y $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{3}$

Paso 15.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 1}{3}$

Paso 15.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{3}$

Paso 16

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{3}$

Forma decimal:

$- 0.\overline{3}$