Cálculo Ejemplos

$y = x^{x}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x^{x})$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la potencia generalizada, que establece que $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ es $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ donde $f = x$ y $g = x$ .

$\frac{d}{d y} [x] (x \cdot x^{x - 1}) + \frac{d}{d y} [x] (x^{x} \ln (x))$

Paso 3.2

Multiplica $x$ por $x^{x - 1}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.1

Multiplica $x$ por $x^{x - 1}$ .

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Paso 3.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d y} [x] (x^{1} x^{x - 1}) + \frac{d}{d y} [x] (x^{x} \ln (x))$

Paso 3.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d y} [x] x^{1 + x - 1} + \frac{d}{d y} [x] (x^{x} \ln (x))$

Paso 3.2.2

Combina los términos opuestos en $1 + x - 1$ .

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Paso 3.2.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{d}{d y} [x] x^{x + 0} + \frac{d}{d y} [x] (x^{x} \ln (x))$

Paso 3.2.2.2

Suma $x$ y $0$ .

$\frac{d}{d y} [x] x^{x} + \frac{d}{d y} [x] (x^{x} \ln (x))$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x' x^{x} + \frac{d}{d y} [x] (x^{x} \ln (x))$

Paso 3.4

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x' x^{x} + x' (x^{x} \ln (x))$

Paso 3.5

Reordena los términos.

$x^{x} x' + x^{x} \ln (x) x'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = x^{x} x' + x^{x} \ln (x) x'$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $x^{x} x' + x^{x} \ln (x) x' = 1$ .

$x^{x} x' + x^{x} \ln (x) x' = 1$

Paso 5.2

Reordena los factores en $x^{x} x' + x^{x} \ln (x) x'$ .

$x' x^{x} + x' x^{x} \ln (x) = 1$

Paso 5.3

Factoriza $x' x^{x}$ de $x' x^{x} + x' x^{x} \ln (x)$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $x' x^{x}$ de $x' x^{x}$ .

$x' x^{x} \cdot 1 + x' x^{x} \ln (x) = 1$

Paso 5.3.2

Factoriza $x' x^{x}$ de $x' x^{x} \ln (x)$ .

$x' x^{x} \cdot 1 + x' x^{x} \ln (x) = 1$

Paso 5.3.3

Factoriza $x' x^{x}$ de $x' x^{x} \cdot 1 + x' x^{x} \ln (x)$ .

$x' x^{x} (1 + \ln (x)) = 1$

Paso 5.4

Divide cada término en $x' x^{x} (1 + \ln (x)) = 1$ por $x^{x} (1 + \ln (x))$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $x' x^{x} (1 + \ln (x)) = 1$ por $x^{x} (1 + \ln (x))$ .

$\frac{x' x^{x} (1 + \ln (x))}{x^{x} (1 + \ln (x))} = \frac{1}{x^{x} (1 + \ln (x))}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $x^{x}$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' x^{x} (1 + \ln (x))}{x^{x} (1 + \ln (x))} = \frac{1}{x^{x} (1 + \ln (x))}$

Paso 5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x' (1 + \ln (x))}{1 + \ln (x)} = \frac{1}{x^{x} (1 + \ln (x))}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común de $1 + \ln (x)$ .

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' (1 + \ln (x))}{1 + \ln (x)} = \frac{1}{x^{x} (1 + \ln (x))}$

Paso 5.4.2.2.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{1}{x^{x} (1 + \ln (x))}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{x} (1 + \ln (x))}$