Cálculo Ejemplos

$\int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 1

Divide la integral en $0$ y escribe como una suma de límites.

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{1 + x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 3

La integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\arctan (x)]_{t}^{0}$ .

$lim_{t \to - \infty} \arctan (x)]_{t}^{0} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4

Evalúa $\arctan (x)$ en $0$ y en $t$ .

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 5

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Paso 6

La integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\arctan (x)]_{0}^{t}$ .

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \arctan (x)]_{0}^{t}$

Paso 7

Evalúa $\arctan (x)$ en $t$ y en $0$ .

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

Paso 8

Evalúa los límites.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $- \infty$ .

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - lim_{t \to - \infty} \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

Paso 8.2

Evalúa el límite de $\arctan (0)$ que es constante cuando $t$ se acerca a $- \infty$ .

$\arctan (0) - lim_{t \to - \infty} \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

Paso 8.3

El límite a medida que $t$ se acerca a $- \infty$ es $- \frac{π}{2}$ .

$\arctan (0) + 1 \frac{π}{2} + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

Paso 8.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $\infty$ .

$\arctan (0) + 1 \frac{π}{2} + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (0)$

Paso 8.5

El límite a medida que $t$ se acerca a $\infty$ es $\frac{π}{2}$ .

$\arctan (0) + 1 \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (0)$

Paso 8.6

Evalúa el límite de $\arctan (0)$ que es constante cuando $t$ se acerca a $\infty$ .

$\arctan (0) + 1 \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - \arctan (0)$

Paso 8.7

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.7.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.7.1.1

El valor exacto de $\arctan (0)$ es $0$ .

$0 + 1 \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - \arctan (0)$

Paso 8.7.1.2

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $1$ .

$0 + \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - \arctan (0)$

Paso 8.7.1.3

El valor exacto de $\arctan (0)$ es $0$ .

$0 + \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - 0$

Paso 8.7.1.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0 + \frac{π}{2} + \frac{π}{2} + 0$

Paso 8.7.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π + π}{2}$

Paso 8.7.3

Suma $π$ y $π$ .

$\frac{2 π}{2}$

Paso 8.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2}$

Paso 8.7.4.2

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$π$

Forma decimal:

$3.14159265 \dots$