Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{6} [5 (2^{- \frac{x}{3}}) - \frac{x}{5}] d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{0}^{6} 5 (2^{- \frac{x}{3}}) - \frac{x}{5} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{6} 5 \cdot 2^{- \frac{x}{3}} d x + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Paso 3

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int_{0}^{6} 2^{- \frac{x}{3}} d x + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Paso 4

Sea $u = - \frac{x}{3}$ . Entonces $d u = - \frac{1}{3} d x$ , de modo que $- 3 d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = - \frac{x}{3}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $- \frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{3}]$

Paso 4.1.2

Como $- \frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x}{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 1$

Paso 4.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{3}$

Paso 4.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = - \frac{x}{3}$ .

$u_{lower} = - \frac{0}{3}$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Divide $0$ por $3$ .

$u_{lower} = - 0$

Paso 4.3.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 4.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = - \frac{x}{3}$ .

$u_{upper} = - \frac{6}{3}$

Paso 4.5

Simplifica.

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Paso 4.5.1

Divide $6$ por $3$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 2$

Paso 4.5.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$u_{upper} = - 2$

Paso 4.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Paso 4.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$5 \int_{0}^{- 2} - 2^{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{3}} d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$5 \int_{0}^{- 2} - 2^{u} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}} d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Paso 5.2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{3}$ .

$5 \int_{0}^{- 2} - 2^{u} \cdot (1 \cdot 3) d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Paso 5.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$5 \int_{0}^{- 2} - 2^{u} \cdot 3 d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Paso 5.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$5 \int_{0}^{- 2} - 3 \cdot 2^{u} d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Paso 6

Dado que $- 3$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 3$ fuera de la integral.

$5 (- 3 \int_{0}^{- 2} 2^{u} d u) + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Paso 7

Multiplica $- 3$ por $5$ .

$- 15 \int_{0}^{- 2} 2^{u} d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Paso 8

La integral de $2^{u}$ con respecto a $u$ es $\frac{2^{u}}{\ln (2)}$ .

$- 15 (\frac{2^{u}}{\ln (2)}]_{0}^{- 2}) + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Paso 9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- 15 (\frac{2^{u}}{\ln (2)}]_{0}^{- 2}) - \int_{0}^{6} \frac{x}{5} d x$

Paso 10

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$- 15 (\frac{2^{u}}{\ln (2)}]_{0}^{- 2}) - (\frac{1}{5} \int_{0}^{6} x d x)$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 15 (\frac{2^{u}}{\ln (2)}]_{0}^{- 2}) - \frac{1}{5} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}$

Paso 12

Sustituye y simplifica.

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Paso 12.1

Evalúa $\frac{2^{u}}{\ln (2)}$ en $- 2$ y en $0$ .

$- 15 ((\frac{2^{- 2}}{\ln (2)}) - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}$

Paso 12.2

Evalúa $\frac{1}{2} x^{2}$ en $6$ y en $0$ .

$- 15 ((\frac{2^{- 2}}{\ln (2)}) - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 12.3

Simplifica.

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Paso 12.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 15 (\frac{\frac{1}{2^{2}}}{\ln (2)} - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 12.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- 15 (\frac{\frac{1}{4}}{\ln (2)} - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 12.3.3

Reescribe $\frac{\frac{1}{4}}{\ln (2)}$ como un producto.

$- 15 (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\ln (2)} - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 12.3.4

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 12.3.5

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 12.3.6

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{2} \cdot 36 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 12.3.7

Combina $\frac{1}{2}$ y $36$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{36}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 12.3.8

Cancela el factor común de $36$ y $2$ .

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Paso 12.3.8.1

Factoriza $2$ de $36$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 12.3.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.3.8.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 12.3.8.2.2

Cancela el factor común.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 12.3.8.2.3

Reescribe la expresión.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{18}{1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 12.3.8.2.4

Divide $18$ por $1$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (18 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 12.3.9

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (18 - \frac{1}{2} \cdot 0)$

Paso 12.3.10

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (18 + 0 (\frac{1}{2}))$

Paso 12.3.11

Multiplica $0$ por $\frac{1}{2}$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (18 + 0)$

Paso 12.3.12

Suma $18$ y $0$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} \cdot 18$

Paso 12.3.13

Multiplica $18$ por $- 1$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - 18 (\frac{1}{5})$

Paso 12.3.14

Combina $- 18$ y $\frac{1}{5}$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) + \frac{- 18}{5}$

Paso 12.3.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{18}{5}$

Paso 13

Simplifica cada término.

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Paso 13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 15 \frac{1}{4 \ln (2)} - 15 (- \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{18}{5}$

Paso 13.2

Combina $- 15$ y $\frac{1}{4 \ln (2)}$ .

$\frac{- 15}{4 \ln (2)} - 15 (- \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{18}{5}$

Paso 13.3

Multiplica $- 15 (- \frac{1}{\ln (2)})$ .

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Paso 13.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 15$ .

$\frac{- 15}{4 \ln (2)} + 15 \frac{1}{\ln (2)} - \frac{18}{5}$

Paso 13.3.2

Combina $15$ y $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$\frac{- 15}{4 \ln (2)} + \frac{15}{\ln (2)} - \frac{18}{5}$

Paso 13.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{15}{4 \ln (2)} + \frac{15}{\ln (2)} - \frac{18}{5}$

Paso 14

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{15}{4 \ln (2)} + \frac{15}{\ln (2)} - \frac{18}{5}$

Forma decimal:

$12.63031921 \dots$

Paso 15