Cálculo Ejemplos

$\sin (x) + 2 \cos (2 y) = 1$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\sin (x) + 2 \cos (2 y)) = \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (x) + 2 \cos (2 y)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 y)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 y)]$

Paso 2.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 y)]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 y)]$ .

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Paso 2.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \cos (2 y)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 y)]$ .

$\cos (x) + 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 y)]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 y$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 y$ .

$\cos (x) + 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 y])$

Paso 2.3.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$\cos (x) + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 y])$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 y$ .

$\cos (x) + 2 (- \sin (2 y) \frac{d}{d x} [2 y])$

Paso 2.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (x) + 2 (- \sin (2 y) (2 \frac{d}{d x} [y]))$

Paso 2.3.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\cos (x) + 2 (- \sin (2 y) (2 y'))$

Paso 2.3.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\cos (x) + 2 (- 2 \sin (2 y) y')$

Paso 2.3.6

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\cos (x) - 4 \sin (2 y) y'$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$- 4 \sin (2 y) y' + \cos (x)$

Paso 3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- 4 \sin (2 y) y' + \cos (x) = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Reordena los factores en $- 4 \sin (2 y) y' + \cos (x)$ .

$- 4 y' \sin (2 y) + \cos (x) = 0$

Paso 5.2

Resta $\cos (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 y' \sin (2 y) = - \cos (x)$

Paso 5.3

Divide cada término en $- 4 y' \sin (2 y) = - \cos (x)$ por $- 4 \sin (2 y)$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $- 4 y' \sin (2 y) = - \cos (x)$ por $- 4 \sin (2 y)$ .

$\frac{- 4 y' \sin (2 y)}{- 4 \sin (2 y)} = \frac{- \cos (x)}{- 4 \sin (2 y)}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 y' \sin (2 y)}{- 4 \sin (2 y)} = \frac{- \cos (x)}{- 4 \sin (2 y)}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' \sin (2 y)}{\sin (2 y)} = \frac{- \cos (x)}{- 4 \sin (2 y)}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $\sin (2 y)$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' \sin (2 y)}{\sin (2 y)} = \frac{- \cos (x)}{- 4 \sin (2 y)}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- \cos (x)}{- 4 \sin (2 y)}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Separa las fracciones.

$y' = \frac{- 1}{- 4} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (2 y)}$

Paso 5.3.3.2

Reescribe $\frac{\cos (x)}{\sin (2 y)}$ como un producto.

$y' = \frac{- 1}{- 4} (\cos (x) \frac{1}{\sin (2 y)})$

Paso 5.3.3.3

Escribe $\cos (x)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$y' = \frac{- 1}{- 4} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 y)})$

Paso 5.3.3.4

Simplifica.

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Paso 5.3.3.4.1

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$y' = \frac{- 1}{- 4} (\cos (x) \frac{1}{\sin (2 y)})$

Paso 5.3.3.4.2

Convierte de $\frac{1}{\sin (2 y)}$ a $\csc (2 y)$ .

$y' = \frac{- 1}{- 4} (\cos (x) \csc (2 y))$

Paso 5.3.3.5

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y' = \frac{1}{4} (\cos (x) \csc (2 y))$

Paso 5.3.3.6

Multiplica $\frac{1}{4} (\cos (x) \csc (2 y))$ .

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Paso 5.3.3.6.1

Combina $\cos (x)$ y $\frac{1}{4}$ .

$y' = \frac{\cos (x)}{4} \csc (2 y)$

Paso 5.3.3.6.2

Combina $\frac{\cos (x)}{4}$ y $\csc (2 y)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (2 y)}{4}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x) \csc (2 y)}{4}$