Cálculo Ejemplos

$\int x^{3} e^{x} d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{3}$ y $d v = e^{x}$ .

$x^{3} e^{x} - \int e^{x} (3 x^{2}) d x$

Paso 2

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$x^{3} e^{x} - (3 \int e^{x} (x^{2}) d x)$

Paso 3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$x^{3} e^{x} - 3 \int e^{x} (x^{2}) d x$

Paso 4

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{2}$ y $d v = e^{x}$ .

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x)$

Paso 5

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x))$

Paso 6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x)$

Paso 7

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{x}$ .

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x))$

Paso 8

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)))$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Reescribe $x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)))$ como $x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$ .

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$

Paso 9.2

Reescribe $x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$ como $x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 (x e^{x}) - 6 e^{x} + C$ .

$x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 (x e^{x}) - 6 e^{x} + C$

Paso 9.3

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x} + C$