Cálculo Ejemplos

$\int \tan^{3} (x) \sec^{6} (x) d x$

Paso 1

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.1

Reescribe $6$ como $4$ más $2$

$\int \tan^{3} (x) {\sec (x)}^{4 + 2} d x$

Paso 1.2

Reescribe ${\sec (x)}^{4 + 2}$ como $\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\int \tan^{3} (x) (\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)) d x$

Paso 1.3

Factoriza $2$ de $4$ .

$\int \tan^{3} (x) ({\sec (x)}^{2 (2)} \sec^{2} (x)) d x$

Paso 1.4

Reescribe ${\sec (x)}^{2 (2)}$ como exponenciación.

$\int \tan^{3} (x) ({(\sec^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x)) d x$

$\int \tan^{3} (x) ({(\sec^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x)) d x$

Paso 2

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\sec^{2} (x)$ como $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int \tan^{3} (x) ({(1 + \tan^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x)) d x$

Paso 3

Sea $u = \tan (x)$ . Entonces $d u = \sec^{2} (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = \tan (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

$\sec^{2} (x)$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int u^{3} {(1 + u^{2})}^{2} d u$

$\int u^{3} {(1 + u^{2})}^{2} d u$

Paso 4

Expande $u^{3} {(1 + u^{2})}^{2}$ .

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Paso 4.1

Reescribe ${(1 + u^{2})}^{2}$ como $(1 + u^{2}) (1 + u^{2})$ .

$\int u^{3} ((1 + u^{2}) (1 + u^{2})) d u$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int u^{3} (1 (1 + u^{2}) + u^{2} (1 + u^{2})) d u$

Paso 4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int u^{3} (1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} (1 + u^{2})) d u$

Paso 4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\int u^{3} (1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

Paso 4.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\int u^{3} (1 \cdot 1 + 1 u^{2}) + u^{3} (u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

Paso 4.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\int u^{3} (1 \cdot 1) + u^{3} (1 u^{2}) + u^{3} (u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

Paso 4.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\int u^{3} (1 \cdot 1) + u^{3} (1 u^{2}) + u^{3} (u^{2} \cdot 1) + u^{3} (u^{2} u^{2}) d u$

Paso 4.8

Mueve $u^{3}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + u^{3} (1 u^{2}) + u^{3} (u^{2} \cdot 1) + u^{3} (u^{2} u^{2}) d u$

Paso 4.9

Reordena $u^{3}$ y $1$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot u^{3} u^{2} + u^{3} (u^{2} \cdot 1) + u^{3} (u^{2} u^{2}) d u$

Paso 4.10

Reordena $u^{2}$ y $1$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot u^{3} u^{2} + u^{3} (1 \cdot u^{2}) + u^{3} (u^{2} u^{2}) d u$

Paso 4.11

Reordena $u^{3}$ y $1$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot u^{3} u^{2} + 1 \cdot u^{3} \cdot u^{2} + u^{3} (u^{2} u^{2}) d u$

Paso 4.12

Multiplica $1$ por $1$ .

$\int 1 u^{3} + 1 u^{3} u^{2} + 1 u^{3} u^{2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Paso 4.13

Multiplica $u^{3}$ por $1$ .

$\int u^{3} + 1 u^{3} u^{2} + 1 u^{3} u^{2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Paso 4.14

Multiplica $u^{3}$ por $1$ .

$\int u^{3} + u^{3} u^{2} + 1 u^{3} u^{2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Paso 4.15

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{3} + u^{3 + 2} + 1 u^{3} u^{2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Paso 4.16

Suma $3$ y $2$ .

$\int u^{3} + u^{5} + 1 u^{3} u^{2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Paso 4.17

Multiplica $u^{3}$ por $1$ .

$\int u^{3} + u^{5} + u^{3} u^{2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Paso 4.18

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{3} + u^{5} + u^{3 + 2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Paso 4.19

Suma $3$ y $2$ .

$\int u^{3} + u^{5} + u^{5} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Paso 4.20

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{3} + u^{5} + u^{5} + u^{3 + 2} u^{2} d u$

Paso 4.21

Suma $3$ y $2$ .

$\int u^{3} + u^{5} + u^{5} + u^{5} u^{2} d u$

Paso 4.22

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{3} + u^{5} + u^{5} + u^{5 + 2} d u$

Paso 4.23

Suma $5$ y $2$ .

$\int u^{3} + u^{5} + u^{5} + u^{7} d u$

Paso 4.24

Suma $u^{5}$ y $u^{5}$ .

$\int u^{3} + 2 u^{5} + u^{7} d u$

Paso 4.25

Reordena $2 u^{5}$ y $u^{7}$ .

$\int u^{3} + u^{7} + 2 u^{5} d u$

Paso 4.26

Mueve $u^{3}$ .

$\int u^{7} + 2 u^{5} + u^{3} d u$

$\int u^{7} + 2 u^{5} + u^{3} d u$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int u^{7} d u + \int 2 u^{5} d u + \int u^{3} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{7}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + C + \int 2 u^{5} d u + \int u^{3} d u$

Paso 7

Dado que $2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{8} u^{8} + C + 2 \int u^{5} d u + \int u^{3} d u$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{5}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + C + 2 (\frac{1}{6} u^{6} + C) + \int u^{3} d u$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + C + 2 (\frac{1}{6} u^{6} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Combina $\frac{1}{6}$ y $u^{6}$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + C + 2 (\frac{u^{6}}{6} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Paso 10.2

Simplifica.

$\frac{u^{8}}{8} + \frac{u^{6}}{3} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

$\frac{u^{8}}{8} + \frac{u^{6}}{3} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\tan (x)$ .

$\frac{\tan^{8} (x)}{8} + \frac{\tan^{6} (x)}{3} + \frac{1}{4} \tan^{4} (x) + C$

Paso 12

Reordena los términos.

$\frac{1}{8} \tan^{8} (x) + \frac{1}{3} \tan^{6} (x) + \frac{1}{4} \tan^{4} (x) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$