Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{4 - x^{2}}} d x$

Paso 1

Sea $x = 2 \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = 2 \cos (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \cos (t)$ es positiva.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $2 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - (2^{2} \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - (4 \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.1.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.2

Factoriza $4$ de $4$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.3

Factoriza $4$ de $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.4

Factoriza $4$ de $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 \cos^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.6

Reescribe $4 \cos^{2} (t)$ como ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} (2 \cos (t))} (2 \cos (t)) d t$

Paso 2.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $2 \cos (t)$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $2 \cos (t)$ de ${(2 \sin (t))}^{2} (2 \cos (t))$ .

$\int \frac{1}{2 \cos (t) ({(2 \sin (t))}^{2})} (2 \cos (t)) d t$

Paso 2.2.1.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{1}{2 \cos (t) {(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2}} d t$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{{(2 (\sin (t)))}^{2}} d t$

Paso 2.2.2.2

Aplica la regla del producto a $2 (\sin (t))$ .

$\int \frac{1}{2^{2} \sin^{2} (t)} d t$

Paso 2.2.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\int \frac{1}{4 \sin^{2} (t)} d t$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin^{2} (t)} d t$

Paso 4

Convierte de $\frac{1}{\sin^{2} (t)}$ a $\csc^{2} (t)$ .

$\frac{1}{4} \int \csc^{2} (t) d t$

Paso 5

Como la derivada de $- \cot (t)$ es $\csc^{2} (t)$ , la integral de $\csc^{2} (t)$ es $- \cot (t)$ .

$\frac{1}{4} (- \cot (t) + C)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica.

$\frac{1}{4} (- \cot (t)) + C$

Paso 6.2

Combina $\frac{1}{4}$ y $\cot (t)$ .

$- \frac{\cot (t)}{4} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arcsin (\frac{x}{2})$ .

$- \frac{\cot (\arcsin (\frac{x}{2}))}{4} + C$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, \frac{x}{2})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, 0)$ y el origen. Entonces $\arcsin (\frac{x}{2})$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, \frac{x}{2})$ . Por lo tanto, $\cot (\arcsin (\frac{x}{2}))$ es $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}{\frac{x}{2}}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}{\frac{x}{2}}}{4} + C$

Paso 8.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Paso 8.1.3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Paso 8.1.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \frac{x}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{(1 + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

Paso 8.1.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \frac{\sqrt{(\frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

Paso 8.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{\sqrt{\frac{2 + x}{2} (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

Paso 8.1.7

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \frac{\sqrt{\frac{2 + x}{2} (\frac{2}{2} - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

Paso 8.1.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{\sqrt{\frac{2 + x}{2} \cdot \frac{2 - x}{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Paso 8.1.9

Multiplica $\frac{2 + x}{2}$ por $\frac{2 - x}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{2 \cdot 2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Paso 8.1.10

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{\sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Paso 8.1.11

Reescribe $\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))$ .

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Paso 8.1.11.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $(2 + x) (2 - x)$ .

$- \frac{\sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Paso 8.1.11.2

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4$ .

$- \frac{\sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Paso 8.1.11.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$- \frac{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))} \frac{2}{x}}{4} + C$

Paso 8.1.12

Retira los términos de abajo del radical.

$- \frac{\frac{1}{2} \sqrt{(2 + x) (2 - x)} \frac{2}{x}}{4} + C$

Paso 8.1.13

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2} \cdot \frac{2}{x}}{4} + C$

Paso 8.1.14

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.1.14.1

Cancela el factor común.

$- \frac{\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2} \cdot \frac{2}{x}}{4} + C$

Paso 8.1.14.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)} \frac{1}{x}}{4} + C$

Paso 8.1.15

Combina $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ y $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x}}{4} + C$

Paso 8.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- (\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x} \cdot \frac{1}{4}) + C$

Paso 8.3

Multiplica $\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x \cdot 4} + C$

Paso 8.4

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$- \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{4 x} + C$