Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0^{+}} {(1 + x)}^{\cot (x)}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 1.1

Reescribe ${(1 + x)}^{\cot (x)}$ como $e^{\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})}$

Paso 1.2

Expande $\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})$ ; para ello, mueve $\cot (x)$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\cot (x) \ln (1 + x)}$

Paso 2

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x) \ln (1 + x)}$

Paso 3

Reescribe $\cot (x) \ln (1 + x)$ como $\frac{\ln (1 + x)}{\frac{1}{\cot (x)}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (1 + x)}{\frac{1}{\cot (x)}}}$

Paso 4

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 4.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 4.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (1 + x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Paso 4.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 4.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 4.1.2.1.1

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0^{+}} 1 + x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Paso 4.1.2.1.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0^{+}} 1 + lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Paso 4.1.2.1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$e^{\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Paso 4.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Paso 4.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1.2.3.1

Suma $1$ y $0$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Paso 4.1.2.3.2

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Paso 4.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 4.1.3.1

Aplica las identidades trigonométricas.

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Paso 4.1.3.1.1

Reescribe $\cot (x)$ en términos de senos y cosenos.

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}}}$

Paso 4.1.3.1.2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}$

Paso 4.1.3.1.3

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \tan (x)}}$

Paso 4.1.3.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$e^{\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Paso 4.1.3.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{0}{\tan (0)}}$

Paso 4.1.3.4

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Paso 4.1.3.5

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$e^{\frac{0}{0}}$

Paso 4.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$e^{\frac{0}{0}}$

Paso 4.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (1 + x)}{\frac{1}{\cot (x)}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}$

Paso 4.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 4.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 1 + x$ .

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Paso 4.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + x$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Paso 4.3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Paso 4.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + x$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Paso 4.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Paso 4.3.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Paso 4.3.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Paso 4.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Paso 4.3.7

Multiplica $\frac{1}{1 + x}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Paso 4.3.8

Reordena los términos.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Paso 4.3.9

Reescribe $\cot (x)$ en términos de senos y cosenos.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}]}}$

Paso 4.3.10

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}]}}$

Paso 4.3.11

Escribe $1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}]}}$

Paso 4.3.12

Simplifica.

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Paso 4.3.12.1

Reescribe la expresión.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}]}}$

Paso 4.3.12.2

Multiplica $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{\cos (x)}]}}$

Paso 4.3.13

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

Paso 4.3.14

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos (x) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

Paso 4.3.15

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

Paso 4.3.16

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

Paso 4.3.17

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

Paso 4.3.18

Suma $1$ y $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

Paso 4.3.19

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \cdot - 1 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Paso 4.3.20

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Paso 4.3.21

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Paso 4.3.22

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Paso 4.3.23

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Paso 4.3.24

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (x)}}}$

Paso 4.3.25

Suma $1$ y $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Paso 4.3.26

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.26.1

Reorganiza los términos.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Paso 4.3.26.2

Aplica la identidad pitagórica.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}}$

Paso 4.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x + 1} \cos^{2} (x)}$

Paso 4.5

Combina $\frac{1}{x + 1}$ y $\cos^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos^{2} (x)}{x + 1}}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

Paso 5.2

Mueve el exponente $2$ de $\cos^{2} (x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$e^{\frac{{(lim_{x \to 0^{+}} \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

Paso 5.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$e^{\frac{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

Paso 5.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x + lim_{x \to 0^{+}} 1}}$

Paso 5.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$e^{\frac{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

Paso 6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{\cos^{2} (0)}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

Paso 6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{\cos^{2} (0)}{0 + 1}}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$e^{\frac{1^{2}}{0 + 1}}$

Paso 7.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$e^{\frac{1}{0 + 1}}$

Paso 7.2

Suma $0$ y $1$ .

$e^{\frac{1}{1}}$

Paso 7.3

Divide $1$ por $1$ .

$e^{1}$

Paso 8

Simplifica.

$e$