Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{16 x^{4} - 8 x^{2}}}{x^{2} - 2}$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Factoriza $8 x^{2}$ de $16 x^{4} - 8 x^{2}$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $8 x^{2}$ de $16 x^{4}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{8 x^{2} (2 x^{2}) - 8 x^{2}}}{x^{2} - 2}$

Paso 1.1.2

Factoriza $8 x^{2}$ de $- 8 x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{8 x^{2} (2 x^{2}) + 8 x^{2} (- 1)}}{x^{2} - 2}$

Paso 1.1.3

Factoriza $8 x^{2}$ de $8 x^{2} (2 x^{2}) + 8 x^{2} (- 1)$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{8 x^{2} (2 x^{2} - 1)}}{x^{2} - 2}$

Paso 1.2

Reescribe $8 x^{2} (2 x^{2} - 1)$ como ${(2 x)}^{2} \cdot (2 (2 x^{2} - 1))$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{4 (2) x^{2} (2 x^{2} - 1)}}{x^{2} - 2}$

Paso 1.2.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2 x^{2} (2 x^{2} - 1)}}{x^{2} - 2}$

Paso 1.2.3

Mueve $2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{2^{2} x^{2} \cdot 2 (2 x^{2} - 1)}}{x^{2} - 2}$

Paso 1.2.4

Reescribe $2^{2} x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{{(2 x)}^{2} \cdot 2 (2 x^{2} - 1)}}{x^{2} - 2}$

Paso 1.2.5

Agrega paréntesis.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{{(2 x)}^{2} \cdot (2 (2 x^{2} - 1))}}{x^{2} - 2}$

Paso 1.3

Retira los términos de abajo del radical.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x \sqrt{2 (2 x^{2} - 1)}}{x^{2} - 2}$

Paso 2

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 x \sqrt{2 (2 x^{2} - 1)}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $x$ de $2 x \sqrt{2 (2 x^{2} - 1)}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x (2 \sqrt{2 (2 x^{2} - 1)})}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Paso 3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x (2 \sqrt{2 (2 x^{2} - 1)})}{x \cdot x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Paso 3.1.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x (2 \sqrt{2 (2 x^{2} - 1)})}{x \cdot x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Paso 3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 \sqrt{2 (2 x^{2} - 1)}}{x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Paso 3.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 \sqrt{2 (2 x^{2} - 1)}}{x}}{1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Paso 3.2.2

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 3.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 \sqrt{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot - 1}}{x}}{1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Paso 3.2.2.2

Multiplica.

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Paso 3.2.2.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 \sqrt{4 x^{2} + 2 \cdot - 1}}{x}}{1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Paso 3.2.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 \sqrt{4 x^{2} - 2}}{x}}{1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Paso 3.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \sqrt{4 x^{2} - 2}}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Paso 3.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} - 2}}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Paso 3.5

Factoriza $2$ de $4 x^{2} - 2$ .

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Paso 3.5.1

Factoriza $2$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{2 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{2 \cdot 2 x^{2} - 2}}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Paso 3.5.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{2 \cdot 2 x^{2} + 2 (- 1)}}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Paso 3.5.3

Factoriza $2$ de $2 (2 x^{2}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{2 (2 x^{2} - 1)}}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Paso 4

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $- \sqrt{x^{2}} = x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{2 (2 x^{2} - 1)}{x^{2}}}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{2 (2 x^{2} - 1)}{x^{2}}}}{1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Paso 5.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{2 \frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{2 (2 x^{2} - 1)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Paso 5.3

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 \frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{2 (2 x^{2} - 1)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Paso 5.4

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{2 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x^{2} - 1)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Paso 5.5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{2} - 1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Paso 6

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{2}$ .

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Paso 7

Evalúa el límite.

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Paso 7.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 7.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Paso 7.1.2

Divide $2$ por $1$ .

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 lim_{x \to - \infty} \frac{2 - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 lim_{x \to - \infty} \frac{2 - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Paso 7.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 lim_{x \to - \infty} \frac{2 - \frac{1}{x^{2}}}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Paso 7.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 \frac{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Paso 7.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 \frac{lim_{x \to - \infty} 2 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Paso 7.5

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 \frac{2 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Paso 8

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 \frac{2 - 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Paso 9

Evalúa el límite.

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Paso 9.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 \frac{2 - 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Paso 9.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 \frac{2 - 0}{1}}}{1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Paso 9.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 \frac{2 - 0}{1}}}{1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{2}}}$

Paso 9.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 \frac{2 - 0}{1}}}{1}}{1 - lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{2}}}$

Paso 9.5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 \frac{2 - 0}{1}}}{1}}{1 - 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 10

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 \frac{2 - 0}{1}}}{1}}{1 - 2 \cdot 0}$

Paso 11

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.1

Divide $2 - 0$ por $1$ .

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 (2 - 0)}}{1}}{1 - 2 \cdot 0}$

Paso 11.2

Divide $- \sqrt{2 (2 - 0)}$ por $1$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2 (2 - 0)})}{1 - 2 \cdot 0}$

Paso 11.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2 (2 - 0)}}{1 - 2 \cdot 0}$

Paso 11.4

Simplifica el denominador.

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Paso 11.4.1

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2 (2 - 0)}}{1 + 0}$

Paso 11.4.2

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2 (2 - 0)}}{1}$

Paso 11.5

Simplifica el numerador.

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Paso 11.5.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2 (2 + 0)}}{1}$

Paso 11.5.2

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2 \cdot 2}}{1}$

Paso 11.5.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{4}}{1}$

Paso 11.5.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2^{2}}}{1}$

Paso 11.5.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{- 2 \cdot 2}{1}$

Paso 11.6

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{- 4}{1}$

Paso 11.7

Divide $- 4$ por $1$ .

$- 4$