Cálculo Ejemplos

$y = x^{x}$

Paso 1

Sea $y = f (x)$ , calcula el logaritmo natural de ambos lados $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{x})$

Paso 2

Expande $\ln (x^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$\ln (y) = x \ln (x)$

Paso 3

Diferencia la expresión mediante la regla de la cadena, teniendo en cuenta que $y$ es una función de $x$ .

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Paso 3.1

Diferencia el lado izquierdo $\ln (y)$ mediante la regla de la cadena.

$\frac{y'}{y} = x \ln (x)$

Paso 3.2

Diferencia el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Diferencia $x \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.2.4.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.4.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.2.4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y'}{y} = \frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.4.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y'}{y} = 1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = 1 + \ln (x) \cdot 1$

Paso 3.2.4.4

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$\frac{y'}{y} = 1 + \ln (x)$

Paso 4

Aísla $y'$ y sustituye la función original de $y$ en el lado derecho.

$y' = (1 + \ln (x)) x^{x}$

Paso 5

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y' = 1 x^{x} + \ln (x) x^{x}$

Paso 5.2

Multiplica $x^{x}$ por $1$ .

$y' = x^{x} + \ln (x) x^{x}$

Paso 5.3

Reordena los factores en $x^{x} + \ln (x) x^{x}$ .

$y' = x^{x} + x^{x} \ln (x)$