Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{2}}{x + y} = y^{2} + 1$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{x + y}) = \frac{d}{d x} (y^{2} + 1)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x + y$ .

$\frac{(x + y) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x + y) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 2.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x + y$ .

$\frac{2 \cdot (x + y) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 2.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{2 (x + y) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 (x + y) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{2 (x + y) x - x^{2} (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x + 2 y) x - x^{2} (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 2.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 y x - x^{2} (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 2.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 y x - x^{2} \cdot 1 - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 2.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.4.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 y x - x^{2} \cdot 1 - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 2.4.4.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 y x - x^{2} \cdot 1 - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 2.4.4.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 y x - x^{2} - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 2.4.4.2

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 y x - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 2.4.5

Reordena los términos.

$\frac{x^{2} + 2 x y - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 2.4.6

Factoriza $x$ de $x^{2} + 2 x y - x^{2} y'$ .

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Paso 2.4.6.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + 2 x y - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 2.4.6.2

Factoriza $x$ de $2 x y$ .

$\frac{x \cdot x + x (2 y) - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 2.4.6.3

Factoriza $x$ de $- x^{2} y'$ .

$\frac{x \cdot x + x (2 y) + x (- x y')}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 2.4.6.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x (2 y)$ .

$\frac{x (x + 2 y) + x (- x y')}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 2.4.6.5

Factoriza $x$ de $x (x + 2 y) + x (- x y')$ .

$\frac{x (x + 2 y - x y')}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.3.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 y y' + 0$

Paso 3.3.2

Suma $2 y y'$ y $0$ .

$2 y y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{x (x + 2 y - x y')}{{(x + y)}^{2}} = 2 y y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Multiplica ambos lados por ${(x + y)}^{2}$ .

$\frac{x (x + 2 y - x y')}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2} = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Simplifica $\frac{x (x + 2 y - x y')}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común de ${(x + y)}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (x + 2 y - x y')}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2} = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Paso 5.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x (x + 2 y - x y') = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Paso 5.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x (2 y) + x (- x y') = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Paso 5.2.1.3

Simplifica.

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Paso 5.2.1.3.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x (2 y) + x (- x y') = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Paso 5.2.1.3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} + 2 x y + x (- x y') = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Paso 5.2.1.3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} + 2 x y - x (x y') = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1.4.1

Mueve $x$ .

$x^{2} + 2 x y - (x \cdot x) y' = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Paso 5.2.1.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + 2 x y - x^{2} y' = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Paso 5.2.1.5

Mueve $x^{2}$ .

$x^{2} + 2 x y - y' x^{2} = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Paso 5.2.1.6

Mueve $x^{2}$ .

$2 x y - y' x^{2} + x^{2} = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Paso 5.2.1.7

Reordena $2 x y$ y $- y' x^{2}$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Paso 5.3

Resuelve $y'$

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Paso 5.3.1

Simplifica $2 y y' {(x + y)}^{2}$ .

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Paso 5.3.1.1

Reescribe.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 0 + 0 + 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Paso 5.3.1.2

Reescribe ${(x + y)}^{2}$ como $(x + y) (x + y)$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' ((x + y) (x + y))$

Paso 5.3.1.3

Expande $(x + y) (x + y)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.3.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x (x + y) + y (x + y))$

Paso 5.3.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x \cdot x + x y + y (x + y))$

Paso 5.3.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y)$

Paso 5.3.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.3.1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x^{2} + x y + y x + y \cdot y)$

Paso 5.3.1.4.1.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x^{2} + x y + y x + y^{2})$

Paso 5.3.1.4.2

Suma $x y$ y $y x$ .

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Paso 5.3.1.4.2.1

Reordena $y$ y $x$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x^{2} + x y + x y + y^{2})$

Paso 5.3.1.4.2.2

Suma $x y$ y $x y$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x^{2} + 2 x y + y^{2})$

Paso 5.3.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y y' (2 x y) + 2 y y' y^{2}$

Paso 5.3.1.6

Simplifica.

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Paso 5.3.1.6.1

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.1.6.1.1

Mueve $y$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 (y \cdot y) y' (2 x) + 2 y y' y^{2}$

Paso 5.3.1.6.1.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y^{2} y' (2 x) + 2 y y' y^{2}$

Paso 5.3.1.6.2

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.1.6.2.1

Mueve $y^{2}$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y^{2} y' (2 x) + 2 (y^{2} y) y'$

Paso 5.3.1.6.2.2

Multiplica $y^{2}$ por $y$ .

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Paso 5.3.1.6.2.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y^{2} y' (2 x) + 2 (y^{2} y^{1}) y'$

Paso 5.3.1.6.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y^{2} y' (2 x) + 2 y^{2 + 1} y'$

Paso 5.3.1.6.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y^{2} y' (2 x) + 2 y^{3} y'$

Paso 5.3.1.7

Multiplica $2$ por $2$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 4 y^{2} y' x + 2 y^{3} y'$

Paso 5.3.2

Como $y'$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$2 y y' x^{2} + 4 y^{2} y' x + 2 y^{3} y' = - y' x^{2} + 2 x y + x^{2}$

Paso 5.3.3

Suma $y' x^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$2 y y' x^{2} + 4 y^{2} y' x + 2 y^{3} y' + y' x^{2} = 2 x y + x^{2}$

Paso 5.3.4

Factoriza $y'$ de $2 y y' x^{2} + 4 y^{2} y' x + 2 y^{3} y' + y' x^{2}$ .

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Paso 5.3.4.1

Factoriza $y'$ de $2 y y' x^{2}$ .

$y' (2 y x^{2}) + 4 y^{2} y' x + 2 y^{3} y' + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

Paso 5.3.4.2

Factoriza $y'$ de $4 y^{2} y' x$ .

$y' (2 y x^{2}) + y' (4 y^{2} x) + 2 y^{3} y' + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

Paso 5.3.4.3

Factoriza $y'$ de $2 y^{3} y'$ .

$y' (2 y x^{2}) + y' (4 y^{2} x) + y' (2 y^{3}) + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

Paso 5.3.4.4

Factoriza $y'$ de $y' x^{2}$ .

$y' (2 y x^{2}) + y' (4 y^{2} x) + y' (2 y^{3}) + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

Paso 5.3.4.5

Factoriza $y'$ de $y' (2 y x^{2}) + y' (4 y^{2} x)$ .

$y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x) + y' (2 y^{3}) + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

Paso 5.3.4.6

Factoriza $y'$ de $y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x) + y' (2 y^{3})$ .

$y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3}) + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

Paso 5.3.4.7

Factoriza $y'$ de $y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3}) + y' (x^{2})$ .

$y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

Paso 5.3.5

Divide cada término en $y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}) = 2 x y + x^{2}$ por $2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}$ y simplifica.

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Paso 5.3.5.1

Divide cada término en $y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}) = 2 x y + x^{2}$ por $2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}$ .

$\frac{y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2})}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}} = \frac{2 x y}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}} + \frac{x^{2}}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

Paso 5.3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.5.2.1

Cancela el factor común de $2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}$ .

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Paso 5.3.5.2.1.1

Cancela el factor común.

Paso 5.3.5.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x y}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}} + \frac{x^{2}}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

Paso 5.3.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.5.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{2 x y + x^{2}}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

Paso 5.3.5.3.2

Factoriza $x$ de $2 x y + x^{2}$ .

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Paso 5.3.5.3.2.1

Factoriza $x$ de $2 x y$ .

$y' = \frac{x (2 y) + x^{2}}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

Paso 5.3.5.3.2.2

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$y' = \frac{x (2 y) + x \cdot x}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

Paso 5.3.5.3.2.3

Factoriza $x$ de $x (2 y) + x \cdot x$ .

$y' = \frac{x (2 y + x)}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 y + x)}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$