Cálculo Ejemplos

$\cos (x y) = 1 + \sin (y)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\cos (x y)) = \frac{d}{d x} (1 + \sin (y))$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = x y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x y$ .

$- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$- \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Paso 2.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y)$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \sin (x y) (x y') - \sin (x y) y$

Paso 2.6.2

Reordena los términos.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia.

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Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \sin (y)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Paso 3.1.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$0 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$0 + \cos (u) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$0 + \cos (y) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$0 + \cos (y) y'$

Paso 3.3

Suma $0$ y $\cos (y) y'$ .

$\cos (y) y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y) = \cos (y) y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Reordena los factores en $- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$ .

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) = \cos (y) y'$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Reordena los factores en $\cos (y) y'$ .

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) = y' \cos (y)$

Paso 5.3

Resta $y' \cos (y)$ de ambos lados de la ecuación.

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) - y' \cos (y) = 0$

Paso 5.4

Suma $y \sin (x y)$ a ambos lados de la ecuación.

$- x y' \sin (x y) - y' \cos (y) = y \sin (x y)$

Paso 5.5

Factoriza $y'$ de $- x y' \sin (x y) - y' \cos (y)$ .

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Paso 5.5.1

Factoriza $y'$ de $- x y' \sin (x y)$ .

$y' (- x \sin (x y)) - y' \cos (y) = y \sin (x y)$

Paso 5.5.2

Factoriza $y'$ de $- y' \cos (y)$ .

$y' (- x \sin (x y)) + y' (- 1 \cos (y)) = y \sin (x y)$

Paso 5.5.3

Factoriza $y'$ de $y' (- x \sin (x y)) + y' (- 1 \cos (y))$ .

$y' (- x \sin (x y) - 1 \cos (y)) = y \sin (x y)$

Paso 5.6

Reescribe $- 1 \cos (y)$ como $- \cos (y)$ .

$y' (- x \sin (x y) - \cos (y)) = y \sin (x y)$

Paso 5.7

Divide cada término en $y' (- x \sin (x y) - \cos (y)) = y \sin (x y)$ por $- x \sin (x y) - \cos (y)$ y simplifica.

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Paso 5.7.1

Divide cada término en $y' (- x \sin (x y) - \cos (y)) = y \sin (x y)$ por $- x \sin (x y) - \cos (y)$ .

$\frac{y' (- x \sin (x y) - \cos (y))}{- x \sin (x y) - \cos (y)} = \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - \cos (y)}$

Paso 5.7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.7.2.1

Cancela el factor común de $- x \sin (x y) - \cos (y)$ .

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Paso 5.7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- x \sin (x y) - \cos (y))}{- x \sin (x y) - \cos (y)} = \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - \cos (y)}$

Paso 5.7.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - \cos (y)}$

Paso 5.7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.7.3.1

Factoriza $- 1$ de $- x \sin (x y)$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- (x \sin (x y)) - \cos (y)}$

Paso 5.7.3.2

Factoriza $- 1$ de $- \cos (y)$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- (x \sin (x y)) - (\cos (y))}$

Paso 5.7.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (x \sin (x y)) - (\cos (y))$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- (x \sin (x y) + \cos (y))}$

Paso 5.7.3.4

Reescribe los negativos.

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Paso 5.7.3.4.1

Reescribe $- (x \sin (x y) + \cos (y))$ como $- 1 (x \sin (x y) + \cos (y))$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- 1 (x \sin (x y) + \cos (y))}$

Paso 5.7.3.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y \sin (x y)}{x \sin (x y) + \cos (y)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \sin (x y)}{x \sin (x y) + \cos (y)}$