Cálculo Ejemplos

$x^{y} = y^{x}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{y}) = \frac{d}{d x} (y^{x})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la potencia generalizada, que establece que $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ es $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ donde $f = x$ y $g = y$ .

$\frac{d}{d x} [x] (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

Paso 2.2.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$y x^{y - 1} + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y x^{y - 1} + y' (x^{y} \ln (x))$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reordena los términos.

$x^{y - 1} y + x^{y} \ln (x) y'$

Paso 2.4.2

Reordena los factores en $x^{y - 1} y + x^{y} \ln (x) y'$ .

$y x^{y - 1} + x^{y} \ln (x) y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la potencia generalizada, que establece que $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ es $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ donde $f = y$ y $g = x$ .

$\frac{d}{d x} [y] (x y^{x - 1}) + \frac{d}{d x} [x] (y^{x} \ln (y))$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y' (x y^{x - 1}) + \frac{d}{d x} [x] (y^{x} \ln (y))$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y' (x y^{x - 1}) + 1 (y^{x} \ln (y))$

Paso 3.4

Multiplica $y^{x}$ por $1$ .

$y' (x y^{x - 1}) + y^{x} \ln (y)$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Reordena los términos.

$y^{x - 1} x y' + y^{x} \ln (y)$

Paso 3.5.2

Reordena los factores en $y^{x - 1} x y' + y^{x} \ln (y)$ .

$x y^{x - 1} y' + y^{x} \ln (y)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y x^{y - 1} + x^{y} \ln (x) y' = x y^{x - 1} y' + y^{x} \ln (y)$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$x^{y} \ln (x) y' - y^{x} \ln (y) = - y x^{y - 1} + x y^{x - 1} y'$

Paso 5.2

Reordena los factores en $x^{y} \ln (x) y' - y^{x} \ln (y)$ .

$y' x^{y} \ln (x) - y^{x} \ln (y) = - y x^{y - 1} + x y^{x - 1} y'$

Paso 5.3

Reordena los factores en $- y x^{y - 1} + x y^{x - 1} y'$ .

$y' x^{y} \ln (x) - y^{x} \ln (y) = - y x^{y - 1} + x y' y^{x - 1}$

Paso 5.4

Reordena los factores en $y' x^{y} \ln (x) - y^{x} \ln (y)$ .

$y' \ln (x) x^{y} - \ln (y) y^{x} = - y x^{y - 1} + x y' y^{x - 1}$

Paso 5.5

Resta $x y' y^{x - 1}$ de ambos lados de la ecuación.

$y' \ln (x) x^{y} - \ln (y) y^{x} - x y' y^{x - 1} = - y x^{y - 1}$

Paso 5.6

Suma $\ln (y) y^{x}$ a ambos lados de la ecuación.

$y' \ln (x) x^{y} - x y' y^{x - 1} = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$

Paso 5.7

Factoriza $y'$ de $y' \ln (x) x^{y} - x y' y^{x - 1}$ .

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Paso 5.7.1

Factoriza $y'$ de $y' \ln (x) x^{y}$ .

$y' (\ln (x) x^{y}) - x y' y^{x - 1} = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$

Paso 5.7.2

Factoriza $y'$ de $- x y' y^{x - 1}$ .

$y' (\ln (x) x^{y}) + y' (- x y^{x - 1}) = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$

Paso 5.7.3

Factoriza $y'$ de $y' (\ln (x) x^{y}) + y' (- x y^{x - 1})$ .

$y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}) = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$

Paso 5.8

Divide cada término en $y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}) = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$ por $\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}$ y simplifica.

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Paso 5.8.1

Divide cada término en $y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}) = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$ por $\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}$ .

$\frac{y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} = \frac{- y x^{y - 1}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} + \frac{\ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Paso 5.8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.8.2.1

Cancela el factor común de $\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}$ .

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Paso 5.8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} = \frac{- y x^{y - 1}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} + \frac{\ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Paso 5.8.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- y x^{y - 1}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} + \frac{\ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Paso 5.8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.8.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Paso 5.8.3.2

Factoriza $- 1$ de $- y x^{y - 1}$ .

$y' = \frac{- (y x^{y - 1}) + \ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Paso 5.8.3.3

Factoriza $- 1$ de $\ln (y) y^{x}$ .

$y' = \frac{- (y x^{y - 1}) - (- \ln (y) y^{x})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Paso 5.8.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (y x^{y - 1}) - (- \ln (y) y^{x})$ .

$y' = \frac{- (y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Paso 5.8.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.8.3.5.1

Reescribe $- (y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x})$ como $- 1 (y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x})$ .

$y' = \frac{- 1 (y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Paso 5.8.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$