Cálculo Ejemplos

$y = x^{x}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{x})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar la diferenciación.

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Paso 3.1.1

Reescribe $x^{x}$ como $e^{\ln (x^{x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}]$

Paso 3.1.2

Expande $\ln (x^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x \ln (x)$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x \ln (x)$ .

$e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.5.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.5.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.5.2.1

Cancela el factor común.

$e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.5.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Paso 3.5.4

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Paso 3.6.2

Multiplica $e^{x \ln (x)}$ por $1$ .

$e^{x \ln (x)} + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Paso 3.6.3

Reordena los términos.

$e^{x \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x)}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = e^{x \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x)}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{x \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x)}$