Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{3} - 10 x^{2} + 24 x}{x^{2} - 6 x}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{x^{3} - 10 x^{2} + 24 x}{x^{2} - 6 x}$ no está definida.

$x = 0, x = 6$

Paso 2

Las asíntotas verticales ocurren en áreas de discontinuidad infinita.

No hay asíntotas verticales

Paso 3

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 4

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Paso 5

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 6

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 6.1

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3} - 10 x^{2} + 24 x$ .

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Paso 6.1.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 10 x^{2} + 24 x}{x^{2} - 6 x}$

Paso 6.1.1.1.2

Factoriza $x$ de $- 10 x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 10 x) + 24 x}{x^{2} - 6 x}$

Paso 6.1.1.1.3

Factoriza $x$ de $24 x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 10 x) + x \cdot 24}{x^{2} - 6 x}$

Paso 6.1.1.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x (- 10 x)$ .

$\frac{x (x^{2} - 10 x) + x \cdot 24}{x^{2} - 6 x}$

Paso 6.1.1.1.5

Factoriza $x$ de $x (x^{2} - 10 x) + x \cdot 24$ .

$\frac{x (x^{2} - 10 x + 24)}{x^{2} - 6 x}$

Paso 6.1.1.2

Factoriza $x^{2} - 10 x + 24$ con el método AC.

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Paso 6.1.1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $24$ y cuya suma es $- 10$ .

$- 6, - 4$

Paso 6.1.1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{x ((x - 6) (x - 4))}{x^{2} - 6 x}$

$\frac{x (x - 6) (x - 4)}{x^{2} - 6 x}$

Paso 6.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 6.1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2} - 6 x$ .

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Paso 6.1.2.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x (x - 6) (x - 4)}{x \cdot x - 6 x}$

Paso 6.1.2.1.2

Factoriza $x$ de $- 6 x$ .

$\frac{x (x - 6) (x - 4)}{x \cdot x + x \cdot - 6}$

Paso 6.1.2.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 6$ .

$\frac{x (x - 6) (x - 4)}{x (x - 6)}$

Paso 6.1.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (x - 6) (x - 4)}{x (x - 6)}$

Paso 6.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x - 6) (x - 4)}{x - 6}$

Paso 6.1.2.3

Cancela el factor común de $x - 6$ .

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Paso 6.1.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 6) (x - 4)}{x - 6}$

Paso 6.1.2.3.2

Divide $x - 4$ por $1$ .

$x - 4$

Paso 6.2

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = x - 4$

Paso 7

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

No hay asíntotas verticales

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = x - 4$

Paso 8