Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 16}{4 x - 16}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{x^{2} - 16}{4 x - 16}$ no está definida.

$x = 4$

Paso 2

Las asíntotas verticales ocurren en áreas de discontinuidad infinita.

No hay asíntotas verticales

Paso 3

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 4

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Paso 5

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 6

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 6.1

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4^{2}}{4 x - 16}$

Paso 6.1.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{4 x - 16}$

Paso 6.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 6.1.2.1

Factoriza $4$ de $4 x - 16$ .

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Paso 6.1.2.1.1

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{4 (x) - 16}$

Paso 6.1.2.1.2

Factoriza $4$ de $- 16$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{4 x + 4 \cdot - 4}$

Paso 6.1.2.1.3

Factoriza $4$ de $4 x + 4 \cdot - 4$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{4 (x - 4)}$

Paso 6.1.2.2

Cancela el factor común de $x - 4$ .

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Paso 6.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{4 (x - 4)}$

Paso 6.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 4}{4}$

Paso 6.2

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$4$

$x$

$4$

Paso 6.3

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x$ por el término de mayor orden en el divisor $4$ .

			$\frac{x}{4}$
	$4$		$x$	+	$4$

Paso 6.4

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

		$\frac{x}{4}$
$4$		$x$	+	$4$
	+	$x$

Paso 6.5

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x$ .

		$\frac{x}{4}$
$4$		$x$	+	$4$
	-	$x$

Paso 6.6

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

		$\frac{x}{4}$
$4$		$x$	+	$4$
	-	$x$
		$0$

Paso 6.7

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

		$\frac{x}{4}$
$4$		$x$	+	$4$
	-	$x$
		$0$	+	$4$

Paso 6.8

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\frac{x}{4} + \frac{4}{4}$

Paso 6.9

Divide la solución en la parte polinómica y el resto.

$\frac{x}{4} + 1$

Paso 6.10

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = \frac{x}{4}$

Paso 7

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

No hay asíntotas verticales

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = \frac{x}{4}$

Paso 8