Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}}$ ; $[1, 4]$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$

Paso 1.2

Resuelve $\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 1.2.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$4, 8 x^{2}, 1 + y = 0$

Paso 1.2.1.2

Since $4, 8 x^{2}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $4, 8, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}$ .

Paso 1.2.1.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

$1$ Enumera los factores primos de cada número.

Paso 1.2.1.4

$4$ tiene factores de $2$ y $2$ .

$2 \cdot 2 + y = 0$

Paso 1.2.1.5

Los factores primos para $8$ son $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Paso 1.2.1.5.1

$8$ tiene factores de $2$ y $4$ .

$2 \cdot 4$

Paso 1.2.1.5.2

$4$ tiene factores de $2$ y $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2$

$2 \cdot 2 \cdot 2 + y = 0$

Paso 1.2.1.6

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

Not $p r i m e + y = 0$

Paso 1.2.1.7

El MCM de $4, 8, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$2 \cdot 2 \cdot 2 + y = 0$

Paso 1.2.1.8

Multiplica $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Paso 1.2.1.8.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 \cdot 2 + y = 0$

Paso 1.2.1.8.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$8 + y = 0$

Paso 1.2.1.9

Los factores para $x^{2}$ son $x \cdot x$ , que es $x$ multiplicada una por la otra $2$ veces.

$x^{2} = x \cdot x$

Paso 1.2.1.10

El MCM de $x^{2}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$x \cdot x + y = 0$

Paso 1.2.1.11

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + y = 0$

Paso 1.2.1.12

El MCM para $4, 8 x^{2}, 1$ es la parte numérica $8$ multiplicada por la parte variable.

$8 x^{2} + y = 0$

Paso 1.2.2

Multiplica cada término en $\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$ por $8 x^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 1.2.2.1

Multiplica cada término en $\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$ por $8 x^{2}$ .

$\frac{x^{4}}{4} (8 x^{2}) + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Paso 1.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.2.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$8 \frac{x^{4}}{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Paso 1.2.2.2.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.2.2.1.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$4 (2) \frac{x^{4}}{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Paso 1.2.2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$4 \cdot 2 \frac{x^{4}}{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Paso 1.2.2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$2 x^{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Paso 1.2.2.2.1.3

Multiplica $x^{4}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.2.2.1.3.1

Mueve $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x^{4}) + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Paso 1.2.2.2.1.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{2 + 4} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Paso 1.2.2.2.1.3.3

Suma $2$ y $4$ .

$2 x^{6} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Paso 1.2.2.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x^{6} + 8 \frac{1}{8 x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

Paso 1.2.2.2.1.5

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 1.2.2.2.1.5.1

Factoriza $8$ de $8 x^{2}$ .

$2 x^{6} + 8 \frac{1}{8 (x^{2})} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

Paso 1.2.2.2.1.5.2

Cancela el factor común.

$2 x^{6} + 8 \frac{1}{8 x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

Paso 1.2.2.2.1.5.3

Reescribe la expresión.

$2 x^{6} + \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

Paso 1.2.2.2.1.6

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 1.2.2.2.1.6.1

Cancela el factor común.

$2 x^{6} + \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

Paso 1.2.2.2.1.6.2

Reescribe la expresión.

$2 x^{6} + 1 = 0 (8 x^{2})$

Paso 1.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.2.3.1

Multiplica $0 (8 x^{2})$ .

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Paso 1.2.2.3.1.1

Multiplica $8$ por $0$ .

$2 x^{6} + 1 = 0 x^{2}$

Paso 1.2.2.3.1.2

Multiplica $0$ por $x^{2}$ .

$2 x^{6} + 1 = 0$

Paso 1.2.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.2.3.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{6} = - 1$

Paso 1.2.3.2

Divide cada término en $2 x^{6} = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.2.1

Divide cada término en $2 x^{6} = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{6}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 1.2.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{6}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 1.2.3.2.2.1.2

Divide $x^{6}$ por $1$ .

$x^{6} = \frac{- 1}{2}$

Paso 1.2.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{6} = - \frac{1}{2}$

Paso 1.2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[6]{- \frac{1}{2}}$

Paso 1.2.3.4

Simplifica $\pm \sqrt[6]{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 1.2.3.4.1

Reescribe $- \frac{1}{2}$ como $i^{6} \frac{1^{6}}{2}$ .

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Paso 1.2.3.4.1.1

Reescribe $- 1$ como $i^{6}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{i^{6} \frac{1}{2}}$

Paso 1.2.3.4.1.2

Reescribe $1$ como $1^{6}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{i^{6} \frac{1^{6}}{2}}$

Paso 1.2.3.4.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm i \sqrt[6]{\frac{1^{6}}{2}}$

Paso 1.2.3.4.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \pm i \sqrt[6]{\frac{1}{2}}$

Paso 1.2.3.4.4

Reescribe $\sqrt[6]{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{2}}$

Paso 1.2.3.4.5

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt[6]{2}}$

Paso 1.2.3.4.6

Combina $i$ y $\frac{1}{\sqrt[6]{2}}$ .

$x = \pm \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

Paso 1.2.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

Paso 1.2.3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

Paso 1.2.3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}, - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

Paso 1.3

Sustituye $\frac{i}{\sqrt[6]{2}}$ por $x$ .

$y = 0$

Paso 1.4

Enumera todas las soluciones.

$y = 0, x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

$y = 0, x = - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

$y = 0, x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

$y = 0, x = - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} d x - \int_{1}^{4} 0 d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $1$ y $4$ .

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Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} - (0) d x$

Paso 3.2

Resta $0$ de $\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} d x$

Paso 3.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} d x + \int_{1}^{4} \frac{1}{8 x^{2}} d x$

Paso 3.4

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{4} x^{4} d x + \int_{1}^{4} \frac{1}{8 x^{2}} d x$

Paso 3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} \frac{1}{8 x^{2}} d x$

Paso 3.6

Dado que $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{8}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 3.7

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.7.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 3.7.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 3.7.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 3.7.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} x^{- 2} d x$

Paso 3.8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} - x^{- 1}]_{1}^{4}$

Paso 3.9

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.9.1

Evalúa $\frac{1}{5} x^{5}$ en $4$ y en $1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{5} \cdot 4^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} - x^{- 1}]_{1}^{4}$

Paso 3.9.2

Evalúa $- x^{- 1}$ en $4$ y en $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 4^{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Paso 3.9.3

Simplifica.

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Paso 3.9.3.1

Eleva $4$ a la potencia de $5$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1024 - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Paso 3.9.3.2

Combina $\frac{1}{5}$ y $1024$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1024}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Paso 3.9.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{4} (\frac{1024}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Paso 3.9.3.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1024}{5} - \frac{1}{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Paso 3.9.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1024 - 1}{5} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Paso 3.9.3.6

Resta $1$ de $1024$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1023}{5} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Paso 3.9.3.7

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1023}{5}$ .

$\frac{1023}{4 \cdot 5} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Paso 3.9.3.8

Multiplica $4$ por $5$ .

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Paso 3.9.3.9

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- \frac{1}{4} + 1^{- 1})$

Paso 3.9.3.10

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- \frac{1}{4} + 1)$

Paso 3.9.3.11

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})$

Paso 3.9.3.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 1 + 4}{4}$

Paso 3.9.3.13

Suma $- 1$ y $4$ .

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} \cdot \frac{3}{4}$

Paso 3.9.3.14

Multiplica $\frac{1}{8}$ por $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1023}{20} + \frac{3}{8 \cdot 4}$

Paso 3.9.3.15

Multiplica $8$ por $4$ .

$\frac{1023}{20} + \frac{3}{32}$

Paso 3.9.3.16

Para escribir $\frac{1023}{20}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1023}{20} \cdot \frac{8}{8} + \frac{3}{32}$

Paso 3.9.3.17

Para escribir $\frac{3}{32}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1023}{20} \cdot \frac{8}{8} + \frac{3}{32} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 3.9.3.18

Escribe cada expresión con un denominador común de $160$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.9.3.18.1

Multiplica $\frac{1023}{20}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1023 \cdot 8}{20 \cdot 8} + \frac{3}{32} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 3.9.3.18.2

Multiplica $20$ por $8$ .

$\frac{1023 \cdot 8}{160} + \frac{3}{32} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 3.9.3.18.3

Multiplica $\frac{3}{32}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1023 \cdot 8}{160} + \frac{3 \cdot 5}{32 \cdot 5}$

Paso 3.9.3.18.4

Multiplica $32$ por $5$ .

$\frac{1023 \cdot 8}{160} + \frac{3 \cdot 5}{160}$

Paso 3.9.3.19

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1023 \cdot 8 + 3 \cdot 5}{160}$

Paso 3.9.3.20

Simplifica el numerador.

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Paso 3.9.3.20.1

Multiplica $1023$ por $8$ .

$\frac{8184 + 3 \cdot 5}{160}$

Paso 3.9.3.20.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{8184 + 15}{160}$

Paso 3.9.3.20.3

Suma $8184$ y $15$ .

$\frac{8199}{160}$

Paso 4