Cálculo Ejemplos

$y = x^{2} - 3$ , $[0, 6]$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$x^{2} - 3 = 0$

Paso 1.2

Resuelve $x^{2} - 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 3$

Paso 1.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{3}$

Paso 1.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{3}$

Paso 1.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{3}$

Paso 1.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Paso 1.3

Sustituye $\sqrt{3}$ por $x$ .

$y = 0$

Paso 1.4

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(\sqrt{3}, 0)$

$(- \sqrt{3}, 0)$

$(\sqrt{3}, 0)$

$(- \sqrt{3}, 0)$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{\sqrt{3}} 0 d x - \int_{0}^{\sqrt{3}} x^{2} - 3 d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $0$ y $\sqrt{3}$ .

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Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} 0 - (x^{2} - 3) d x$

Paso 3.2

Resta $x^{2} - 3$ de $0$ .

$\int_{0}^{\sqrt{3}} - (x^{2} - 3) d x$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} - x^{2} + 3 d x$

Paso 3.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} - x^{2} d x + \int_{0}^{\sqrt{3}} 3 d x$

Paso 3.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{0}^{\sqrt{3}} x^{2} d x + \int_{0}^{\sqrt{3}} 3 d x$

Paso 3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{\sqrt{3}}) + \int_{0}^{\sqrt{3}} 3 d x$

Paso 3.7

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\sqrt{3}}) + \int_{0}^{\sqrt{3}} 3 d x$

Paso 3.8

Aplica la regla de la constante.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\sqrt{3}}) + 3 x]_{0}^{\sqrt{3}}$

Paso 3.9

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.9.1

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.9.1.1

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $\sqrt{3}$ y en $0$ .

$- ((\frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 3 x]_{0}^{\sqrt{3}}$

Paso 3.9.1.2

Evalúa $3 x$ en $\sqrt{3}$ y en $0$ .

$- (\frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Paso 3.9.1.3

Simplifica.

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Paso 3.9.1.3.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$- (\frac{\sqrt{3^{3}}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Paso 3.9.1.3.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Paso 3.9.1.3.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{0}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Paso 3.9.1.3.4

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 3.9.1.3.4.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Paso 3.9.1.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.9.1.3.4.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Paso 3.9.1.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Paso 3.9.1.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{0}{1}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Paso 3.9.1.3.4.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - 0) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Paso 3.9.1.3.5

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} + 0) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Paso 3.9.1.3.6

Suma $\frac{\sqrt{27}}{3}$ y $0$ .

$- \frac{\sqrt{27}}{3} + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Paso 3.9.1.3.7

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$- \frac{\sqrt{27}}{3} + 3 \sqrt{3} + 0$

Paso 3.9.1.3.8

Suma $3 \sqrt{3}$ y $0$ .

$- \frac{\sqrt{27}}{3} + 3 \sqrt{3}$

Paso 3.9.2

Simplifica.

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Paso 3.9.2.1

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 3.9.2.1.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$- \frac{\sqrt{9 (3)}}{3} + 3 \sqrt{3}$

Paso 3.9.2.1.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3} + 3 \sqrt{3}$

Paso 3.9.2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3} + 3 \sqrt{3}$

Paso 3.9.2.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.9.2.3.1

Cancela el factor común.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3} + 3 \sqrt{3}$

Paso 3.9.2.3.2

Divide $\sqrt{3}$ por $1$ .

$- \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}$

Paso 3.9.2.4

Suma $- \sqrt{3}$ y $3 \sqrt{3}$ .

$2 \sqrt{3}$

Paso 4

$A r e a = \int_{\sqrt{3}}^{6} x^{2} - 3 d x - \int_{\sqrt{3}}^{6} 0 d x$

Paso 5

Integra para obtener el área entre $\sqrt{3}$ y $6$ .

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Paso 5.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{\sqrt{3}}^{6} x^{2} - 3 - (0) d x$

Paso 5.2

Resta $0$ de $x^{2} - 3$ .

$\int_{\sqrt{3}}^{6} x^{2} - 3 d x$

Paso 5.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{\sqrt{3}}^{6} x^{2} d x + \int_{\sqrt{3}}^{6} - 3 d x$

Paso 5.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{\sqrt{3}}^{6} + \int_{\sqrt{3}}^{6} - 3 d x$

Paso 5.5

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{\sqrt{3}}^{6} + - 3 x]_{\sqrt{3}}^{6}$

Paso 5.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.6.1

Combina $\frac{1}{3} x^{3}]_{\sqrt{3}}^{6}$ y $- 3 x]_{\sqrt{3}}^{6}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - 3 x]_{\sqrt{3}}^{6}$

Paso 5.6.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.6.2.1

Evalúa $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x$ en $6$ y en $\sqrt{3}$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 6^{3} - 3 \cdot 6) - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Paso 5.6.2.2

Simplifica.

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Paso 5.6.2.2.1

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 216 - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Paso 5.6.2.2.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $216$ .

$\frac{216}{3} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Paso 5.6.2.2.3

Cancela el factor común de $216$ y $3$ .

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Paso 5.6.2.2.3.1

Factoriza $3$ de $216$ .

$\frac{3 \cdot 72}{3} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Paso 5.6.2.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.6.2.2.3.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Paso 5.6.2.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Paso 5.6.2.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{72}{1} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Paso 5.6.2.2.3.2.4

Divide $72$ por $1$ .

$72 - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Paso 5.6.2.2.4

Multiplica $- 3$ por $6$ .

$72 - 18 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Paso 5.6.2.2.5

Resta $18$ de $72$ .

$54 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Paso 5.6.2.2.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$54 - (\frac{1}{3} \sqrt{3^{3}} - 3 \sqrt{3})$

Paso 5.6.2.2.7

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$54 - (\frac{1}{3} \sqrt{27} - 3 \sqrt{3})$

Paso 5.6.2.2.8

Combina $\frac{1}{3}$ y $\sqrt{27}$ .

$54 - (\frac{\sqrt{27}}{3} - 3 \sqrt{3})$

Paso 5.6.3

Simplifica.

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Paso 5.6.3.1

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.3.1.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$54 - (\frac{\sqrt{9 (3)}}{3} - 3 \sqrt{3})$

Paso 5.6.3.1.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$54 - (\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3} - 3 \sqrt{3})$

Paso 5.6.3.2

Retira los términos de abajo del radical.

$54 - (\frac{3 \sqrt{3}}{3} - 3 \sqrt{3})$

Paso 5.6.3.3

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.3.3.1

Cancela el factor común.

$54 - (\frac{3 \sqrt{3}}{3} - 3 \sqrt{3})$

Paso 5.6.3.3.2

Divide $\sqrt{3}$ por $1$ .

$54 - (\sqrt{3} - 3 \sqrt{3})$

Paso 5.6.3.4

Resta $3 \sqrt{3}$ de $\sqrt{3}$ .

$54 - (- 2 \sqrt{3})$

Paso 5.6.3.5

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$54 + 2 \sqrt{3}$

Paso 6

Suma $2 \sqrt{3}$ y $2 \sqrt{3}$ .

$54 + 4 \sqrt{3}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$54 + 4 \sqrt{3}$

Forma decimal:

$60.92820323 \dots$

Paso 8